[Z:U] ist endlich

29.10.2007, 20:42	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
[Z:U] ist endlich Hallo. Ich habe eine Aufgabe, bei der ich völlig auf der Stelle trete: Es sei $\begin{eqnarray} \{0\} \neq U \end{eqnarray}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z},+) \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} [\mathbb{Z}:U] \end{eqnarray}$ endlich ist. Wenn ich mir so einfache Untergruppen wie alle Vielfachen von n betrachte ist mir das schon klar - etwa für $\begin{eqnarray} U=n \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gibt es n Nebenklassen. Aber mir fehlt jeder Ansatz wie ich das allgemein zeigen könnte
29.10.2007, 21:18	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir fällt gerade auf, dass - wenn $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ die betragsmäßig kleinste Zahl in der Untergruppe ist - stets alle $\begin{eqnarray} k \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ enthalten sein müssen wegen der additiven Abgeschlossenheit. Dann sind alle Untergruppen von der Form $\begin{eqnarray} k_1 \mathbb{Z} + k_2 \mathbb{Z} + \dots \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k_1 < k_2 < \dots \end{eqnarray}$ paarweise teilerfremd. Sehe ich das dann richtig, dass für eine Untergruppe der Form $\begin{eqnarray} k_1 \mathbb{Z} + k_2 \mathbb{Z} + \dots + k_n \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ höchstens $\begin{eqnarray} k_n \end{eqnarray}$ Nebenklassen existieren?
29.10.2007, 21:22	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Was sollen das den für Untergruppen sein? $\begin{eqnarray} 2\mathbb Z + 3\mathbb Z = \{-3,-2,2,3,..\} \end{eqnarray}$ ? Die sind nicht abgeschlossen . Zeige einfach das alle Untergruppen von $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ die Form $\begin{eqnarray} k\mathbb Z \end{eqnarray}$ haben.
29.10.2007, 21:30	Biene Maja	Auf diesen Beitrag antworten »
Also abgeschlossen ist die schon wenn du die 0 noch mitnimmst. Aber mir fällt gerade weiter auf, dass alle Untergruppen zyklischer Gruppen auch zyklisch sind - also reicht es sowieso aus $\begin{eqnarray} k \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zu betrachten. Ok, danke!
29.10.2007, 21:35	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
2+3=5 teilbar weder durch 2 noch durch 3 . Aber egal
29.10.2007, 21:42	BieneMaja	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist jetzt aber ein Notationsproblem Ich meinte das so, dass alle Vielfachen von 2, alle Vielfachen von 3 und alle Summen davon enthalten sind.
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29.10.2007, 21:54	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok dann ist $\begin{eqnarray} 2\mathbb Z + 3\mathbb Z = \mathbb Z \end{eqnarray}$

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