ZV als Summengrenze

29.10.2007, 21:25

Ambrosius

ZV als Summengrenze

Ich habe unabhängige ZVs $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ und T eine von den $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige ZV.
Wie kann ich dann einen Term der Form
$\begin{eqnarray*} V(\omega) = \sum\limits_{n=1}^{T(\omega)}~X_n (\omega) \end{eqnarray*}$
verstehen? Habe derartige Ausdrücke bisher noch nicht kennengelernt, soll dazu aber aufgaben bearbeiten. Wie rechnet man mit solchen Dingen? gibts dafür nen speziellen Namen?

Vielen Dank im Voraus

29.10.2007, 22:35

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Zitat:

Original von Ambrosius
Wie kann ich dann einen Term der Form
$\begin{eqnarray*} V(\omega) = \sum\limits_{n=1}^{T(\omega)}~X_n (\omega) \end{eqnarray*}$
verstehen?

Ganz normal - die obere Summengrenzen ist eben auch zufällig! Das ist kein Problem, solange nur $\begin{eqnarray*} T(\omega) \end{eqnarray*}$ eine Zufallsgröße mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Original von Ambrosius
gibts dafür nen speziellen Namen?

Mitunter bezeichnet man $\begin{eqnarray*} T(\omega) \end{eqnarray*}$ als Stoppzeit.

30.10.2007, 14:37

Ambrosius

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Und wenn ich nun von der Summe den Erwartungswert berechnen will? Fließt die Obergrenze dann gar nicht mit ein?
Hast du vielleicht irgendwo nen Link wo dergleichen ein wenig erläutert wird?

30.10.2007, 20:30

Mr Poisson

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Musst du die Wald'sche Identität beweisen, also dass

$\begin{eqnarray*} E[ \sum_{n=1}^{T} X_n] = E[X_1] E[T] \end{eqnarray*}$ gilt?

... dann schreib am besten die Summe mit Hilfe der Indikatorfunktion so um dass du keine Zufallsvariable mehr als Summengrenze hast!

30.10.2007, 21:53

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@MrPoisson

Das ist natürlich nur richtig, sofern die $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ identisch verteilt sind - eine Voraussetzung, die Ambrosius vielleicht vergessen hat zu erwähnen, vielleicht aber auch nicht. Augenzwinkern

@Ambrosius

Allgemein, also ohne die Voraussetzung der identischen Verteilung kann man z.B. so rechnen:

$\begin{eqnarray*} E\left[ \sum_{n=1}^{T} X_n\right] = \sum_{k=1}^{\infty} E\left[ \sum_{n=1}^{k} X_n \Bigm| T=k\right] \cdot P(T=k) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. man rechnet mit bedingten Wkten unter der Bedingung der jeweiligen festen Summandenzahl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Sind nun die $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ unabhängig (übrigens ist die Unabhängigkeit der $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ untereinander nicht mal erforderlich), dann kann man weiter umformen

$\begin{eqnarray*} \cdots = \sum_{k=1}^{\infty} E\left[ \sum_{n=1}^{k} X_n\right] \cdot P(T=k) = \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{k} E[ X_n] \cdot P(T=k) = \sum_{n=1}^{\infty} \sum_{k=n}^{\infty} E[X_n] \cdot P(T=k) = \sum_{n=1}^{\infty} E[X_n] \cdot P(T\geq n) \end{eqnarray*}$

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