beweis der additionstheoreme

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30.10.2007, 12:19

Mathok

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beweis der additionstheoreme

wie beweist man z. b. folgendes add.theorem:

sin(x + y)= sinxcosy + cosxsiny

30.10.2007, 12:22

therisen

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Kombiniere

$\begin{eqnarray*} \sin(x+y)=\mathrm{Im}~\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x+y)} \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\varphi}=\cos\varphi+\mathrm{i}\sin\varphi \end{eqnarray*}$

30.10.2007, 12:31

Mathok

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zunächst, wie kommst du auf diese beiden formeln??

dann wenn ich das mache kommt bei mir raus:

cosxcosy +cosx isiny +isinxcosy -sinxsiny

30.10.2007, 12:39

therisen

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Zitat:

Original von Mathok
zunächst, wie kommst du auf diese beiden formeln??

Die erste ist die Definition des Sinus, die zweite eine unmittelbare Konsequenz daraus, bekannt unter dem Namen eulersche Identität.

Zitat:

Original von Mathok
dann wenn ich das mache kommt bei mir raus:

cosxcosy +cosx isiny +isinxcosy -sinxsiny

Das ist schon mal gut, das bedeutet nämlich $\begin{eqnarray*} \sin(x+y)=\cos x\sin y+\cos y\sin x \end{eqnarray*}$

30.10.2007, 12:57

Mathok

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ich verstehe nicht wie du auf den letzten schritt kommst

30.10.2007, 13:01

therisen

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Zitat:

Original von Mathok
cosxcosy +cosx isiny +isinxcosy -sinxsiny

Was ist denn der Imaginärteil hiervon?

30.10.2007, 14:03

Mathok

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eben das,was du aufgeschrieben hast

heisst das, dass das der beweis dafür ist ?

30.10.2007, 14:33

WebFritzi

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} \sin(x+y)=\mathrm{Im}~\mathrm{e}^{\mathrm{i}(x+y)} \end{eqnarray*}$

06.11.2007, 11:47

riwe

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am einheitskreis:

$\begin{eqnarray*} \overline{OC}=cos\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{CE}=sin\beta \end{eqnarray*}$

und es gilt $\begin{eqnarray*} \angle{DEC}=\alpha \end{eqnarray*}$ (normalwinkel)

daher hat man

$\begin{eqnarray*} \overline{BC}=sin\alpha\cdot cos\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{DE}=cos\alpha\cdot sin\beta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overline{AE}=\overline{BC}+\overline{DE} \end{eqnarray*}$ qued

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