Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

30.10.2007, 13:02

siN

Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

Hi, hab ein kleines Verständnisproblem bei 2 Aufgaben.
Die vollst. Ind. an sich ist klar, nur haben sich mir beim üben ein paar Probleme ergeben:

Folgendes ist gegeben:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~k*k! = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Für n+1 gilt ja dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~k*k! + (n+1)(n+1)! \end{eqnarray*}$

ersetzen:
$\begin{eqnarray*} (n+1)!-1 + (n+1)(n+1)! \end{eqnarray*}$

Nun weiss ich nicht wie ich das richtig Ausrechnen soll bzw ob der Ansatz überhaupt richtig ist.

//edit

Problem 1 hat sich erledigt smile

War lediglich zu dumm zum richtig Rechnen Big Laugh

2) nur eine kleine (wohl auch dämliche) Frage, aber da steh ich momentan total auf dem Schlauch. Wie stellt man n³+5n ist durch 6 teilbar" dar? wäre nett wenn mir da ebenso jmd helfen könnte, ich will das danach nämlich auch beweisen (per vllst. Ind). Ansätze hab ich da noch keine sinnvollen gefunden.

Danke schonmal

30.10.2007, 13:13

klarsoweit

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion
Hallo und willkommen. Wink

Zitat:

Original von siN
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~k*k! = (n+1)!-1 \end{eqnarray*}$

Da wäre es vorteilhaft, wenn der Laufindex der Summe ebenfalls k ist.

Zitat:

Original von siN
$\begin{eqnarray*} (n+1)!-1 + (n+1)(n+1)! \end{eqnarray*}$

Klammere in $\begin{eqnarray*} (n+1)! + (n+1)(n+1)! \end{eqnarray*}$ den Term (n+1)! aus.

Zitat:

Original von siN
Wie stellt man n³+5n ist durch 6 teilbar" dar?l

n³+5n ist durch 6 teilbar <==> wenn es ein k aus N gibt mit (n³+5n) = 6 * k.

Einfach, nicht? Augenzwinkern

30.10.2007, 13:15

pseudo-nym

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Bist du sicher dass du $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^n~k*k!=n(k! k) \end{eqnarray*}$ meist?

Bei solchen Aufgaben kommt zuerst die Induktionsverankerung. Also erstmal einen Wert einsetzen und die Gleichheit der Ausdrücke verifizieren.
Edit:Es sei denn du hast du hast das schon bei "den ganzen Vorgängen" gemacht. Augenzwinkern

30.10.2007, 13:24

FabiB

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

Zitat:

n³+5n ist durch 6 teilbar <==> wenn es ein k aus N gibt mit (n³+5n) = 6 * k.

Einfach, nicht? Augenzwinkern

So wie es jetzt da steht ist die rechte Seite der Äquivalenz garkeine Aussage.

Also ich würde es entweder so schreiben:

n³+5n ist genau dann durch 6 teilbar, wenn es ein k aus N gibt mit (n³+5n) = 6*k

oder etwa so:

6 | n³+5n <==> Es existiert ein k in N mit (n³+5n) = 6*k

30.10.2007, 13:24

siN

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Danke nochmals, hatte beim Ausklammern lediglich nen Fehler gemacht.
Punkt 2 ist mir nun auch klar, danke Augenzwinkern

Mal ne allgemeine Frage, wenn ich ne rekursive Folge in expliziter Darstellung schreibe und diese dann beweisen will, kann ich das dann mit dem Summenzeichen darstellen?
Also im Prinzip: Summenzeichen mit all dem blabla = explizite form, und dann beweisen?

30.10.2007, 13:32

Dual Space

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von FabiB

Zitat:

n³+5n ist durch 6 teilbar <==> wenn es ein k aus N gibt mit (n³+5n) = 6 * k.

Einfach, nicht? Augenzwinkern

Das ist genau die Aussage, die klarsoweit auch gepostet hat, denn "<==>" bedeutet "genau dann wenn".

30.10.2007, 13:37

FabiB

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion
naja was mich an seiner Aussage gestört hatte war nur das auf der rechten seite der Äquivalenz steht: wenn....

dadurch ist der Satz keine richtige Aussage.

30.10.2007, 13:39

Dual Space

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion
Achso. Verstanden. Augenzwinkern

30.10.2007, 13:42

klarsoweit

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von klarsoweit
n³+5n ist durch 6 teilbar <==> wenn es ein k aus N gibt mit (n³+5n) = 6 * k.

OK. Ich streiche ein "wenn":

n³+5n ist durch 6 teilbar <==> es gibt ein k aus N mit (n³+5n) = 6 * k.

Zitat:

Original von siN
Mal ne allgemeine Frage, wenn ich ne rekursive Folge in expliziter Darstellung schreibe und diese dann beweisen will, kann ich das dann mit dem Summenzeichen darstellen?
Also im Prinzip: Summenzeichen mit all dem blabla = explizite form, und dann beweisen?

Du sprichst in Rätseln. Hast du mal ein Beispiel?

Und wie schon per pn gesagt: das teilweise Löschen von Text im 1. Beitrag halte ich für nicht so gut.

30.10.2007, 13:48

Dual Space

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RE: Problem beim beweisen durch vollständige Induktion

Zitat:

Original von klarsoweit
Und wie schon per pn gesagt: das teilweise Löschen von Text im 1. Beitrag halte ich für nicht so gut.

siN: Ich möchte dich eindringlichst darum bitten solche Edits künftig zu unterlassen. Zum einen ist es repektlos den Helfern gegenüber, die sich die Mühe gemacht haben deine Frage zu beantworten und zum anderen ist der Thread für spätere Leser nun nicht mehr nachvollziehbar!

30.10.2007, 13:53

siN

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Sorry wegen dem löschen. Hatte kurz davor per F5 gecheckt ob schon antworten da sind, dann hab ich die Gleichung rausgekriegt (also meinen Fehler entdeckt) und gedacht ich entfern meine erste Frage wieder. Direkt nach dem Edit hab ich dann gesehen das bereits 2 Leute geantwortet haben. Sorry deswegen, bissel dumm gelaufen.

Nun, ich wollte es allgemein halten, damit ich auch nochn bissel nachdenken muss.
Also ich hab eine rekursiv definiete Folge gegeben. Ich probier einige Werte und erstell mir dann die explizite Form. Eben diese soll ich nun per vollständiger Induktion beweisen. Da ich aber momentan nicht weiss wie eine entsprechende Gleichung aussehen muss die ich beweisen soll, dachte ich mir, dass ich es vielleicht wie folgt machen könnte:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~<Entsprechend DerRekursiven Darstellung> = explizite form \end{eqnarray*}$

und dann fleißig beweisen. Oder geht das anders bzw einfacher?

PS: hab versucht im ersten Post meine rauseditierte Fragestellung nochmal so in etwa reinzuposten wie ich sie in Erinnerung hatte.

30.10.2007, 14:04

klarsoweit

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Zitat:

Original von siN
Sorry wegen dem löschen. Hatte kurz davor per F5 gecheckt ob schon antworten da sind, dann hab ich die Gleichung rausgekriegt (also meinen Fehler entdeckt) und gedacht ich entfern meine erste Frage wieder. Direkt nach dem Edit hab ich dann gesehen das bereits 2 Leute geantwortet haben. Sorry deswegen, bissel dumm gelaufen.

Tja, wir sind hier halt von der schnellen Truppe. Augenzwinkern

Aber das mit der rekursiven Darstellung verstehe ich noch nicht. Eine rekursive Folge könnte sein:

a_0 = 1, $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = 2 \cdot a_n \end{eqnarray*}$

Da lautet die explizite Darstellung: $\begin{eqnarray*} a_n = 2^n \end{eqnarray*}$

Und was soll das jetzt mit der Summe zu tun haben? verwirrt

30.10.2007, 14:07

Dual Space

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Danke für die Wiederherstellung der Frage, siN. Freude

30.10.2007, 14:09

siN

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naja, wir wurden an der uni grad wieder mit der vollständigen Induktion überflutet....alles querbeet müssen wir damit beweisen.
Bis jetzt hatte so gut wie alles immer was mit dem summenzeichen zu tun, da dachte ich das man es vllt auch hier in der darstellung bräuchte, weil mir sonst nicht klar war, was ich sonst beweisen sollte? oder kann ich einfach die explizite darstellung beweisen so wie du sie hingeschrieben hast?

vielleicht ist es einfach nur zu banal und die frage blödsinn, aber ich hab mich seit der schule nichtmehr damit beschäftigt Augenzwinkern

30.10.2007, 14:59

klarsoweit

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Wenn du eine Vermutung für die explizite Darstellung einer impliziten Folge hast, dann schreibst du sie eben hin und schaust, wie du sie beweisen kannst. Die vollständige Induktion kann da durchaus eine gute Wahl sein.

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