Zyklische Gruppen |
| 30.10.2007, 14:05 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Zyklische Gruppen gerade mal wieder eines meiner Probleme: Warum ist die Gruppe (Z, Fp) mit der Modulo-Multiplikation und Primzahl immer eine zyklische Gruppe? Bei (Z, F5)... Welches ist da das erzeugende Element? Woher weiß ich überhaupt, welches Element erzeugendes ist? Gracias für eine Hilfe! |
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| 30.10.2007, 15:13 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Frage mich, warum mir keiner helfen will. Ich präzisiere meine Frage: Habe ich nun (Z, F5) ohne 0, Wie kann ich dann nachweisen, dass sich jedes Element der Gruppe z.B. als Potenz von a=3 darstellen lassen? Muss man die Ergebnisse, die ich beim Potenzieren erhalte, dann nochmal modulo 5 rechnen? Kann man aber dann nicht auch die 2 als erzeugendes Element auffassen? Nun hilf mir doch bitte jemand 
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| 30.10.2007, 16:51 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei nicht so ungeduldig, ich war eben in der Uni 
Derartige Elemente nennen sich Primitivwurzeln. Für primes gibt es genau Primitivwurzeln modulo (dabei bezeichnet die eulersche phi-Funktion). In der Tat gilt , d.h. ist eine Primitivwurzel modulo . Gruß, therisen |
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| 30.10.2007, 17:33 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schau: ich studiere nur auf lehramt mathe. ich brauch das alles ein bissel anschaulicher. außerdem steht in meinem spanischen skript nix von ner primitivwurzel. also: primitivwurzeln sind die elemente, die die zyklische gruppe erzeugen, richtig? oder falsch? gibt es da nicht ne tausend mal einfachere erklärung? und meine frage, ob 2 auch so ein element ist, kannste mir die auch beantworten? 
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| 30.10.2007, 17:36 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
und bedeutet das, dass es in (Z, F5) nur eine Primitivwurzel gibt? kannst du mir sagen, warum denn 3 so ein Element ist? DANKE! |
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| 30.10.2007, 17:42 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Primitivwurzel modulo m erzeugt die prime Restklassengruppe (das ist die Menge aller Restklassen, deren Elemente teilerfremd zu m sind). , also ist dies ebenfalls eine Primitivwurzel modulo 5. |
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| 30.10.2007, 17:47 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, ich glaube, ich hab´s verstanden. Vielen lieben Dank für die Hilfe! |
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| 30.10.2007, 17:48 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nochwas: wo versteckt sich in deiner rechnung die eulersche? |
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| 30.10.2007, 17:49 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bevor wir hier weitermachen: Was meinst du eigentlich mit (Z,Fp)? Vermutlich niemand hier im Forum außer dir sitzt in dieser Vorlesung. Niemand kann also wissen, welche Bezeichnungen ihr in der Vorlesung eingeführt habt. Verwende Fachbegriffe, dann wird auf einmal alles klar: Meinst du mit (Z,Fp) die additive Gruppe der ganzen Zahlen modulo p? Meinst du mit (Z,Fp) die multiplikative Gruppe der ganzen Zahlen modulo p? Oder meinst du mit (Z,Fp) etwas anderes? Das fett Geschriebene sind die von mir angesprochenen Fachbegriffe. Jeder mathematische Text hat mit einer kurzen Einführung in Bezeichnungen zu beginnen, sofern diese nicht allgemein üblich sind. |
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| 31.10.2007, 14:26 | Iljana | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meine die multiplikative Gruppe der ganzen Zahlen modulo p. Sorry, das hätte ich mir denken können, dass ich da hätte näher drauf eingehen müssen. Sitze hier in der Uni in Spanien und muss selbst immer umdenken, so dass ich das total verpeilt habe.
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| 31.10.2007, 14:36 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei der Zahl 4. Es ist nämlich . |
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Unwissenschaftlich!