Grundregeln der Wahrscheinlichkeit

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systa Auf diesen Beitrag antworten »
Grundregeln der Wahrscheinlichkeit
Hallo Leute,

ich habe mal wieder eine Frage und dachte ich poste sie einfach mal. Es geht um ein paar Aufgaben bei denen ich mir nicht sicher bin.
Die Aufgaben stehen in "Elemente der Mathematik 12/13" auf Seite 365 für alle die dieses Buch ebenfalls benutzen.

Aufgabe 6:

"Aus einer Urne mit 100 gleichartigen, von 1 bis 100 nummerierten Kugeln wird eine Kugel gezogen.

a) Betrachte die Ereignisse:

A: Die Zahl ist durch 8 teilbar
C: Die Zahl ist durch 8 und durch 9 teilbar
F: Die Zahl ist durch 12 und 17 teilbar
Bestimme die zu den Ereignissen gehörenden Ergebnisse. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die Ereignisse?

b) Welche Wahrscheinlichkeit haben die folgenden Ereignisse?
G: Die Zahl ist weder durch 8 noch durch 12 teilbar
H: Die Zahl ist durch 8, aber nicht durch 12 teilbar
I: Die Zahl ist nicht durch 8 oder nicht durch 12 teilbar

Meine Lösung für A bis F:

A: 12%
B: 6%
C: 1%
D: 5%
E: 2%
F: 3%

G habe ich probiert, wie folgt:

Umkehrschluss: P( 8 v 12)

P(8) + P(12) - P( 8 und 12) = P(8 v 12)
P(8 und 12) = P(8) - P(12)
= 0,12 - 0,08 = 0,04

P(0,12) + P(0,08) - P(0,04) = 0,16

Es gilt:
P(C) = 1 - P(C)

1 - 0,16 = 0,84

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zahl weder durch 8 noch durch 12 teilbar ist, ist 84%.

H:
P(8) - P( 8 und 12)
0,12 - 0,04 = 0,08 8%

Bei I wusste ich dann nicht mehr weiter.
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Nummer 7 konnte ich nicht, vielleicht kann mir da jemand helfen.

"Zwei Würfel werden geworfen. Welche Wahrscheinlichkeit hat das Ereignis: Der eine oder der andere Würfel zeigt
(1) Augenzahl 6 (2) eine Augenzahl größer als 4

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Dann habe ich noch Nummer 8 versucht.

8) Eine Karte wird aus einem Spiel mit 32 Karten gezogen (vgl. Seite 356). Welche Wahrscheinlichkeiten haben folgende Ereignisse?
(1) Die gezogene Karte ist ein König oder eine Dame
(2) Die gezogene Karte ist rot oder Karo

Ich habe die beiden wie folgt versucht:

1:
P( König) + P( Dame)
P(0,125) + P(0,125) = 0,25
Die Wahrscheinlichkeit, dass es sich bei der gezogenen Karte um einen König oder eine Dame handelt beträgt 25%

2:
Es gibt 8 Karokarten = 0,25
Es gibt 16 rote Karten = 0,5

P(rot v Karo)
P(rot v Karo) = P(rot) + P(Karo) - P(rot und Karo)
P(rot und Karo) = P(0,5 - 0,25) = 0,25

P(0,5) + P(0,25) - P(0,25) = 0,5

Die Wahrscheinlichkeit für eine rote oder Karo-Karte beträgt 50%

Bei (3) musste ich mich allerdings geschlagen geben, hat da jemand eine Idee.

-------------------------------------------------

Es wäre wirklich unglaublich toll wenn jemand mal über die Aufgaben gucken könnte und mir sagen könnte welche richtig sind und wo ich Fehler gemacht habe.
Lösungsansätze und Tipps wären natürlich auch super.

Liebe Grüße,
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
P(8 und 12) = P(8) - P(12) = 0,12 - 0,08 = 0,04

Ein schönes Beispiel dafür, wie man mit falschem Lösungsweg trotzdem zufällig zum richtigen Ergebniswert kommen kann. Richtig wäre (in deiner Terminologie aufgeschrieben) folgende Rechnung:

P(8 und 12) = P(kgV(8,12)) = P(24) = 0,04
 
 
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie sieht es sonst so mit den Lösungen aus? Eine kleine Rückmeldung wäre wirklich toll.

Gruß,
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Aufgabe 6) Bei B,D,E kenne ich die Aufgabenstellung nicht. A,C ist richtig, F ist falsch (vermutlich derselbe Fehler, den ich oben angesprochen habe, nur diesmal ohne Glückskorrektur).
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, vielen Dank, wärst du vielleicht so freundlich mir zu erklären was jetzt genau falsch ist, sprich wie ich die Aufgabe hätte rechnen sollen?

Vielleicht kannst du mir dann auch noch eine Rückmeldung zu Aufgabe 8 geben, da werde ich dann ja wohl den gleichen Fehler gemacht haben.

Folgende Schreibweise habe ich nämlich leider nicht verstanden, daher würde ich die Hilfe zu schätzen wissen.
Zitat:
P(8 und 12) = P(kgV(8,12)) = P(24) = 0,04


Vielen Dank,
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Zahl durch 8 und gleichzeitig durch 12 teilbar sein soll, dann muss sie auch durch das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen teilbar sein, und das ist eben 24.


Wie lautet denn die Begründung für deine Rechnung z.B. im Fall F ? 3% heißt, dass 3 Zahlen zwischen 1 und 100 sowohl durch 12 als auch durch 17 teilbar sein sollen - welche 3 Zahlen sind das?
systa Auf diesen Beitrag antworten »

[quote]Original von Arthur Dent
Wenn eine Zahl durch 8 und gleichzeitig durch 12 teilbar sein soll, dann muss sie auch durch das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen teilbar sein, und das ist eben 24.[quote]

Das ist mir klar, allerdings weiß ich nicht auf welche Aufgabe du dich beziehst? Auf Aufgabe 6b) (G)?

Ich dachte man könnte bei Aufgabe 6b) (G) so vorgehen, dass man erst ausrechnet wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass sich die gezogene Zahl durch 8 oder durch 12 teilen lässt.
Hier habe ich dann eine Wahrscheinlichkeit von 16% raus.
Als Umkehrschluss wären dann die restlichen 16% Zahlen, die sich weder durch 8, noch durch 12 teilen liessen?
Vielleicht kannst du hier noch einmal genau sagen wo der Fehler liegt.

Bei F habe ich folgendes gemacht:

P(12 und 17) = P(12) - P(17)
P(0,08) - P(0,05) = 0,03 3%

Allerdings finde ich keine Zahlen die sich durch 17 und 12 teilen lassen?

Bitte um Aufklärung.

Gruß,
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
Das ist mir klar


Zitat:
Original von systa
Bitte um Aufklärung.


Was denn nun? Deine beiden Aussagen widersprechen sich.
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde sagen ich poste einfach meine komplette Lösung für Aufgabe 6 noch einmal hier ins Netz am morgigen Dienstag.

Trotzdem schon einmal ein großes Danke für die Hilfe,

Gruß,
Alex
Dual Space Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von systa
... am morgigen Dienstag.

Auch dies ist widersprüchlich, da heute Dienstag ist. Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Bis dahin mal noch die ausführliche Lösung von Teilaufgabe F:

Alle Zahlen, die sowohl durch 12 als auch durch 17 teilbar sind, müssen durch das kgV von 12 und 17 teilbar sein, also durch 12*17=204. Davon gibt es keine im Bereich 1..100. Also ist die Antwort Wahrscheinlichkeit 0.

Oder wiedermal in deiner Kurzform:

P(12 und 17) = P(kgV(12,17)) = P(204) = 0
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das habe ich nun verstanden. Selbes Problem bei Aufgabe (D), vielleich kann mir da noch einmal jemand erklären wie ich das denn rechnerisch löse.

Aufgabenstellung:
"Aus einer Urne mit 100 gleichartigen, von 1 bis 100 nummerierten Kugeln wird eine Kugel gezogen.

a) Betrachte die Ereignisse:

D: Die Zahl ist durch 9 und 15 teilbar
Bestimme die zu den Ereignissen gehörenden Ergebnisse. Welche Wahrscheinlichkeiten haben die Ereignisse?

Lösungsweg:

P( 9 und 15) = P(9) - P(15)
= 0,11 - 0,06 = 0,05 daher 5%

so, dass ist allerdings falsch, da es lediglich zwei Zahlen (45/90) gibt die durch 9 und 15 teilbar sind. Wie rechne ich dies aus. Bei Aufgabenstellung (C) habe ich dies genauso gemacht, allerdings ging es da ja glücklicherweise gut.

Vielen Dank,
Alex
AD Auf diesen Beitrag antworten »

kgV(9,15)=45 , also P(9 und 15) = P(kgV(9,15)) = P(45) = 0.02

Alles andere dazu habe ich oben schon gesagt - und du hast ja nach eigener Aussage (2x) verstanden. Allerdings habe ich da meine Zweifel, da du immer wieder dieselbe Frage stellst, obwohl es dasselbe Problem nur mit anderen Zahlen ist.

Zitat:
Original von systa
Bei Aufgabenstellung (C) habe ich dies genauso gemacht, allerdings ging es da ja glücklicherweise gut.

Da hast du eben sogar zweimal (bei C und G) das unverschämte Glück gehabt, mit falscher Methode trotzdem das richtige Resultat zu erzielen. Auch hier rechnet man richtigerweise

kgV(8,9) = 72 , also P(8 und 9) = P(kgV(8,9)) = P(72) = 0.01 .
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, habe es jetzt verstanden. Freude

Ich bin jetzt bei den Pfadregeln angekommen, wenn ich darf schreibe ich dann einfach wieder hier wenn ich erneut Probleme habe.

Gruß,
Alex
systa Auf diesen Beitrag antworten »

So, da bin ich wieder mit einer Frage.

Es geht um die Aufgabe 11 auf Seite 371, Aufgabenstellung folgt.

"Bei einer Produktionskontrolle wird ein bestimmter Fehler in 10% der Fälle übersehen. Deshalb wird das Produkt von dei verschiedenen Personen kontrolliert. Destimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein unbrauchbares Produkt
(1) spätenstens bei der zweiten Kontrolle als unbrauchbar erkannt wird.

Ich habe ein Baumdiagramm gemacht, wobei ich die jeweils zwei Arme mit 0,9 für "erkannt" und 0,1 für "nicht erkannt" gekennzeichnet habe.

Am Ende habe ich 8 verschiedene Möglichkeiten (2³).
Bei der ersten Kontrolle wird die Ausschussware mit 90% erkannt. Beim zweiten natürlich auch.

Ich hab einfach überhaupt keinen Plan wie ich das machen soll. Es dürfte nun wirklich nicht schwer sein, ich komm nur nicht drauf, obwohl ich das baumdiagramm schon vor mir liegen habe.

Hilfe wäre wirklich toll.

Gruß,
Alex
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der zweiten Kontrolle hat der Baum 4 Äste (Enden). Diese ergeben sich aus der ersten Verzweigung (0,90 - erkannt und 0,10 - nicht erkannt) durch Ansetzen von jeweils wiederum 2 Ästen mit den Faktoren 0,90 (erkannt) und 0,10 (nicht erkannt).

Beachte, dass du jeweils mit den Faktoren multiplizieren musst, wenn du in die nächste Ast-Ebene gelangen willst. Alle Wahrscheinlichkeiten einer Ebene addiert müssen immer 1 ergeben (zur Kontrolle!).

Spätestens bei der 2. Kontrolle den Fehler bemerken, heisst, dass der Fehler auch bereits bei der ersten Kontrolle erkannt wird. Du musst also alle Wege verfolgen und weiterverarbeiten, die den Zweig "erkannt" (0,90) beinhalten. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in der letzten (2.) Ebene, die mindestens einen Zweig "erkannt" beeinhalten, ist dein gesuchtes Ergebnis.

Es sei nicht verschwiegen, dass es in den meisten Fällen, so auch hier, günstiger ist, die Gegenwahrscheinlichkeit zu verfolgen, weil da nur ein einziger Weg zu durchlaufen ist. Wir ersetzen also das Ereignis: Wann wird mindestens ein mal der Fehler erkannt, durch das Ereignis: Wann wird nie der Fehler erkannt. In diesem Fall müssen wir nur die Wege verfolgen, die immer den Zweig "nicht erkannt" (0,10) enthalten. Das wird nur ein einziger sein. Dieses Ergebnis (des gegenteiligen Ereignisses) müssen wir zum Schluss noch von 1 subtrahieren (wegen der Gegenwahrscheinlichkeit).

Beide Wege führen klarerweise zum gleichen Resultat. Kannst du nun dieses angeben? (Es geht sogar mittels Kopfrechnung Big Laugh )

mY+
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

erst einmal vielen recht herzlichen Dank für diese tolle und ausführliche Hilfe. Ich habe das Baumdiagramm, wie bereits erwähnt, gezeichnet und die einzelnen "Äste bzw. Möglichkeiten" jeweils mit 0,9 und 0,1 beschriftet.

Wenn ich nach Ihrem letzten Lösungsvorschlag vorgehe (es gibt ja nur einen Zweig bei dem der Fehler gar nicht erkannt wird) erhalte ich bei folgender Rechnung:

0,1 * 0,1 * 0,1 = 0,001, daher 0,1%

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nicht entdeckt (bei allen drei Kontrollen) beträgt daher 0,1%.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler nach drei Kontrollen entdeckt wird beträgt (1-0,001) = 0,999, daher 99,9%
-----------------------------------------------------------------

Jetz sagt aber die Aufgabenstellung, dass der "Fehler spätestens" nach der zweiten Kontrolle" entdeckt wird. Ich hatte mir jetzt gedacht, dass nun die dritte "Astebene" einfach wegfällt.

Auch hier gebe es für das Gegenbeispiel "der Fehler wird nicht gefunden" nur eine Möglichkeit"

Rechnung:
0,1 * 0,1 = 0,01 daher 1%
-> Bei der zweiten Kontrolle werden 1% der ursprünglichen Fehl-Ware nicht erkannt.

Daher werden mindestens bei der zweiten Kontrolle 99% der Fehlerware entdeckt.
-----------------------------------------------------------------

Wie ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass der Fehler spätestens bei der zweiten Kontrolle entdeckt wird. 99,9% oder 99,0%

Eine Antwort und eventuell kurze Erklärung wäre wirklich toll.

Ich bedanke mich,
Alex
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leute,

und schon wieder habe ich eine Frage:

(3) Bei einem Test soll ein Hellseher sagen, in welcher Reihenfolge eine andere Person fünf Dinge angeordnet hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass jemand die Reihenfolge richtig rät, ohne hellseherisch begabt zu sein.

->

Also ich dachte mir, dass die Wahrscheinlichkeit das der Hellseher den ersten Gegenstand richtig anordnet 1/5 beträgt, bei dem zweiten Gegenstand sind es dann 1/4 usw.

Ich dachte mir dann: 1/5 * 1/4 * 1/3 * 1/2 * 1/1 = 1/120

Die Wahrscheinlichkeit das der Hellseher die Gegenstände richtig anordet ist also 1/120?

Was sagen die Profis dazu?

Lieben Gruß,
Alex
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne lange Überlegung: Ja.
Man kann das Resultat auch so verifizieren: Die Anzahl der möglichen Anordnungen ist eine Permutation P5 (Pn = n!) der Ordnung 5, und beträgt daher 120. Eine Anordnung davon muss nun die richtige sein ..

Zur vorhergenden Frage:
Du hast die beiden Fälle verwechselt.

Spätestens bei der 2. Kontrolle heisst: Auch bereits bei der 1. Kontrolle kann das Ereignis schon eintreten. Dieser Fall wurde vorhin bereits diskutiert, und das Ergebnis ist richtig, 1 - 0,01 = 0,99, d.s. 99%

Mindestens bei der 2. Kontrolle heisst: Erst ab der 2. Kontrolle darf das Ereignis eintreten. Also in diesem Fall bei der 2. oder 3. Kontrolle.

Diesen Fall musst du nun noch ausrechnen.

mY+
systa Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Ich muss euch leider wieder mit Fragen bombadieren. Hoffe ihr könnt mir helfen:

Seite 375
Nr.7 a:
"Aus einem Kartenspiel mit 32 karten werden 4 Karten gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dies 4 Asse sind?

RECHNUNG:
P(4 der gezogenen Karten sind Asse)

1/32 * 1/31 * 1/30 * 1/29 = 1/863040
Da die Reihenfolge egal ist, gilt : 4!/863040, daher 1/35960

Ich bin mir da aber nicht sicher, wäre schön wenn mir jemand helfen könnte.
-------------------------------------------------------------

Seite 375
Nr. 8
"In einigen europäischen Ländern sind bzw. waren andere Lottospiele üblich. Vergleiche die gewinnchancen im 1.Rang (alle angekreuzten Zahlen sind Gewinnzahlen)."
(1) Schweden: 7 aus 35 habe ich: 1/6.724.520
(5) Polen: 5 aus 35 habe ich: 1/324632

Auch hier wäre eine kleine Rückmeldung nett.
-------------------------------------------------------------

Seite 377
Nr. 2 (Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei Stichproben)

Nr. 2a)

"Begründe die nebenstehenden Wahrscheinlichkeiten für einen Lottotipp mit [...]2[...] Richtigen: = 1851150/13983816
-> Hier ist Spiel 6 aus 49

RECHNUNG:

[(6 über 2) * (43 über 4)] / (49 über 6) = 1851150 / (49 über 6)

Kurze Rückmeldung wäre toll.
----------------------------------------------------------------

Seite 377
Nr. 2b)

"Bestimme die Wahrscheinlichkeit für einen Lottotipp mit folgendem Gewinnrang"
(1) 5 Richtige mit Zusatzzahl

RECHNUNG:

[(6 über 5) * (1 über 1) * (42 über 1)] / (49 über 6) = 252/(49 über 6) = 0,000018
---------------------------------------------------------------

Eine letze noch Big Laugh

Seite 377
Nr. 4
"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
a) unter den 10 Karten, die ein Skatspieler erhält
(1) zwei Asse sind

RECHNUNG:

-> Ich weß, dass es im Skatspiel 32 Karten gibt, 4 davon sind Asse, daher gilt:

[(10 über 2) * (22 über 8)] / (32 über 10) = (45 * 319720) / 64512240 = 0,22

Bei dieser Aufgabe bin ich mir absolut nicht sicher, wenn mir hier jemand helfen könnte wäre einfach klasse. Vor allem weil ich bei Teil (2) "drei Asse sind" als Lösung 0,3172 habe.
Und es sollte doch eigentlich kleiner werden und nicht größer. Hilfe vor allem bei dieser Aufgabe wäre einfach super.

Lieben Gruß,
Alex
NewTi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hilfe bei Grundregeln der Wahrscheinlichkeit
Zu der Aufgabe 6 (ganz oben):

H: Die Zahl ist durch 8, aber nicht durch 12 teilbar.

Wie schreibt man das dann auf? 9 % sind es. Aber wie schreibt man dies auf?

P(8 ,,,)?

Danke.

Gruß
NewTi Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, 8 %. Aber wie kann man das regelkonform aufschreiben?

Danke.
Zellerli Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du denn auf die Zahl?
Irgendwas musst du ja gerechnet haben. Und wenn du es nur mit Worten darstellst, versuch es mal! Augenzwinkern
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