Gruppenaxiome

30.10.2007, 19:04

mathestudi

Gruppenaxiome

Hallo,

vielleicht könnt ihr mir bei dieser Aufgabe helfen, ich weiß nämlich nicht, wie ich da rangehen soll.
Eigentlich ist das alles logisch, nur wie beweist man so etwas?

( $\begin{eqnarray*} \cdot \end{eqnarray*}$ soll der konkatenationsoperator sein, ich finde leider den entsprechenden latex befehl nicht)

Sei $\begin{eqnarray*} (G, \cdot) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe mit dem neutralen Element n.

1) Zeigen Sie, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.

2) Das neutrale Element wurde definiert als $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: g \cdot n = n \cdot g = g \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: Setzen wir nun $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: n \cdot g = g \end{eqnarray*}$

voraus, so folgt daraus bereits $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: g \cdot n = g \end{eqnarray*}$ .

30.10.2007, 19:05

therisen

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RE: Gruppenaxiome

Zitat:

Original von mathestudi
1) Zeigen Sie, dass das neutrale Element eindeutig bestimmt ist.

Nimm an, es gäbe zwei verschiedene neutrale Elemente und zeige, dass diese gleich sein müssen.

30.10.2007, 19:06

Leopold

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Nimm an, es gäbe zwei neutrale Elemente $\begin{eqnarray*} n, n' \end{eqnarray*}$ und zeige mit der Definition des neutralen Elementes $\begin{eqnarray*} n = n' \end{eqnarray*}$ .

Und noch ein gutgemeinter Rat: Manchmal sollte man selbst ein bißchen probieren, bevor man Hilfe sucht. Da lernt man nämlich mehr dabei.

30.10.2007, 19:11

mathestudi

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danke, ich habe schon seit 2 stunden probiert, die aufgabe zu lösen.
außerdem ist das nur ein teil der aufgabe, die ich machen muss, die anderen habe ich ja allein gemacht.

ich versuche mal, einen ansatz hinzuschreiben:

muss ich das für addition und / oder multiplikation machen?

$\begin{eqnarray*} n, n' \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n+n'=n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n, n' \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \cdot n'=n \end{eqnarray*}$

30.10.2007, 19:18

mathestudi

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hier noch mein ansatz zu 2):

$\begin{eqnarray*} n \cdot g = g \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)

+: n+g=0 für n=0 --> n=0

mal: n mal g = g für n=1 --> n=1

$\begin{eqnarray*} g \cdot n = g \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)

+: g+n=0 für n=0 --> n=0

mal: g mal n = g für n=1 --> n=1

somit folgt: n+g = g+n und n mal g = g mal n und dann auch
$\begin{eqnarray*} n \cdot g = g \cdot n \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)

laut Kommutativgesetz gilt: $\begin{eqnarray*} n \cdot g = g \cdot n \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)

zusammen mit $\begin{eqnarray*} n \cdot g = g \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)
folgt daraus $\begin{eqnarray*} g \cdot g = g \end{eqnarray*}$ (hier: kolon!)

ist das irgendwie brauchbar?

30.10.2007, 19:21

Leopold

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In diesem Zusammenhang sind Addition und Multiplikation nur Namen für eine Operation auf $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ . Am besten redest du überhaupt nicht von Addition und Multiplikation sondern von der Gruppenoperation (Gruppenverknüpfung) $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ . Du mußt in deiner Gleichung verwenden, daß $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ neutrales Element ist (und das auf $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ loslassen), und daß $\begin{eqnarray*} n' \end{eqnarray*}$ neutrales Element ist und das auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ loslassen. Mehr kann ich wirklich nicht sagen, ohne gleich alles zu verraten. Das ist ganz wenig zu schreiben.

30.10.2007, 19:26

mathestudi

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was heißt "loslassen"??

ein weiterer versuch:

$\begin{eqnarray*} n, n' \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n \circ n'=n \end{eqnarray*}$

Da n und n' gleiche Eigenschaften haben, gilt auch $\begin{eqnarray*} n' \circ n=n' \end{eqnarray*}$

und damit $\begin{eqnarray*} n'=n \end{eqnarray*}$

30.10.2007, 19:31

Leopold

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Das ist jetzt richtig. Ich bin mir aber gar nicht sicher, ob du das auch verstanden hast. Begründe doch einfach jede Zeile deiner Rechnung:

$\begin{eqnarray*} n \circ n' = n \end{eqnarray*}$ , weil ........................................
$\begin{eqnarray*} n' \circ n = n' \end{eqnarray*}$ , weil ........................................

Und dann ist die Reihenfolge der Operanden auch nicht unerheblich. Verwende die Definition des neutralen Elementes.

30.10.2007, 19:34

Teddy

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RE: Gruppenaxiome
Ich will ja nicht meckern, aber ist das nicht Algebra?

30.10.2007, 19:38

mathestudi

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$\begin{eqnarray*} n' \circ n = n' \end{eqnarray*}$ , weil es in G genau ein Element n gibt, sodass für alle x Element G gilt: $\begin{eqnarray*} x \circ n = n \circ x = n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \circ n' = n \end{eqnarray*}$ , weil n' gleiche Eigenschaften hat, wie n und damit auch neurtales Element zu n sein kann.

stimmt das?

wie schreibe ich das alles von anfang an formal richtig auf?

30.10.2007, 19:38

mathestudi

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RE: Gruppenaxiome
nein, bei uns ist das analysis.

30.10.2007, 19:51

mathestudi

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jetzt helft mir doch mal bitte, ich muss das morgen abgeben.
das ist alles so viel momentan. ich blick gar nicht mehr durch!
bitte!!!

31.10.2007, 00:15

mathestudi

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ich bin etwas weiter, ich habe jetzt gezeigt, dass das neutrale element eindeutig bestimmt ist, brauche aber noch dringend eine lösung für den 2. teil der aufgabe, also

2) Das neutrale Element wurde definiert als $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: g \cdot n = n \cdot g = g \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: Setzen wir nun $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: n \cdot g = g \end{eqnarray*}$

voraus, so folgt daraus bereits $\begin{eqnarray*} \forall g \in G: g \cdot n = g \end{eqnarray*}$ .

Kann mir denn keiner dabei weiterhelfen?????

31.10.2007, 08:57

Leopold

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Multipliziere die Gleichung $\begin{eqnarray*} ng^{-1} = g^{-1} \end{eqnarray*}$ von links und von rechts mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ .

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