Zahlenspiel - Zahlenquadratur [Happy Numbers] |
| 30.10.2007, 19:23 | Stefan B. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Zahlenspiel - Zahlenquadratur [Happy Numbers] ich weiß nicht ob das Thema hier reingehört, poste trotzdem mal. Ich müsste eine Zahl quadrarieren und sehen ob am Ende eine 1 rauskommt. Beispiel: 19 1^2 + 9^2 = 81 8^2 + 1^2 = 68 6^2 + 8^2 = 100 1^2 + 0^2 + 0^2 = 1 Das müsste ich für eine beliebige Zahl machen um zu sehen ob am Ende 1 rauskommt. Nun ist das natürlich aufwendig und es kann Zahlen geben bei denen das nicht zu einem Ergebnis führt. Beispiel: 5 5^2 = 25 2^2 + 5^2 = 29 2^2 + 9^2 = 85 8^2 + 5^2 = 89 8^2 + 9^2 = 145 1^2 + 4^2 + 5^2 = 42 ... Gibt es ein mathematisches Kriterium durch das feststellbar ist ob eine Zahl durch diese Methode sich auf 1 reduzieren lässt? Bin für jeden Hinweis dankbar. 
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| 30.10.2007, 20:36 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ein allgemeines Verfahren, was auf den ersten Blick funktioniert, fällt mir erstmal nicht ein. Aber das folgene Verfahren sollte auch zum Ziel führen: Wenn du eine ziemlich große Zahl nimmst, wird die immer kleiner und schon nach sehr wenigen Schritten höchstens dreistellig, für die Zahl der Schritte läßt sich sicher eine Abschätzung finden. Die dreistellige Zahl ist höchstens 999, also kommt danach eine Zahl kleinergleich 3*9^2=243. Da ab hier höchstens noch Zahlen kleiner 243 auftauchen, landest du nach spätestens 243 Schritten in einem Zyklus (der entweder nur aus der 1 besteht oder länger ist). Und das brauchst du auch nicht jedesmal neu ausrechnen, mach dir einfach eine Programm, daß das ganze für alle Zahlen von 1 bis 243 einmal durchrechnet und eine Liste erstellt, zu welchem Zyklus diese Zahl führt. Jetzt kannst du für jede sehr große Zahl mit wenigen Schritten feststellen, wo das ganze hinführt. Nicht auszuschließen, daß es immer die 1 ist, ich habe es nciht ausprobiert. |
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| 31.10.2007, 00:11 | Stefan B. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi,
Das klingt plausibel. Was ich allerdings nicht nachvollziehen kann, warum es immer höchstens dreistellig wird?
Sowas hatte ich vor.
Verstehe. Danke für die ersten Tipps! 
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| 31.10.2007, 07:27 | Tomtomtomtom | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es wird nicht immer dreistellig, nur wird es halt am Anfang ziemlich schnell kleiner, so daß man schon nach ein paar wenigen Schritten bei dreistelligen Zahlen angelangt sein wird. Ein kurzer Überschlag bringt: Wenn wir mal eine n-stellige Zahl nehmen, dann ist der "worst case" daß wir n Neunen haben, also kommt nach dem ersten Schritt eine Zahl kleiner als n*9^2 raus. Wenn man damit ein bißchen rumrechnet, kommt raus, das aus der n-stelligen Zahl eine Zahl mit etwa 2+log(n) Stellen geworden ist, was sehr viel kleiner ist, aber ebend nur wenn etwa n>4. Ab dreistelligen Zahlen muß man dann anfangen sich mehr Gedanken zu machen, weil ab da die Folge nicht mehr so schnell bzw. überhaupt nicht mehr fällt. |
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| 31.10.2007, 08:43 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Versuche zeigen, daß die Folge entweder in die Periode 1 läuft oder in die Periode 4 16 37 58 89 145 42 20 bzw. eine ihrer zyklischen Vertauschungen Und in die Periode 1 kann sie doch eigentlich nur laufen, wenn vorher eine Stufenzahl des Dezimalsystems erreicht wurde. Welche Quadratsummen führen nun auf Stufenzahlen? |
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| 31.10.2007, 18:21 | Stefan B. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Verstehe. Danke an dich und Leopold für die Hilfe. Mittlerweile habe ich herausfinden können das dieses "Problem" bekannt ist. Es handelt sich um so genannte Happy Numbers.
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