Beweis mit Mengen, Supremum, Infinum

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aRo Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit Mengen, Supremum, Infinum
Hallo!
Bei folgender Aufgabe finde ich keinen Ansatz:









Irgendwie finde ich es schon wieder so logisch, dass mir der Ansatz fehlt. Ich weiß nicht, was ich nun voraussetzen darf und was nicht. Es wäre gut, wenn mir jemand einen Schubser für den Start geben würde.

Herzlichen Dank.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Beweise erstmal, dass sup(A)/inf(B) überhaupt eine obere schranke von A/B ist.

danach vielleicht so:

Sei vorgegeben.

dann existiert ein a aus A und ein b aus B, sodass gilt



aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Beweise erstmal, dass sup(A)/inf(B) überhaupt eine obere schranke von A/B ist.


auch das schaffe ich nicht. Ich mein, es ist doch logisch, dass sup(A)/inf(B) die oberste Schranke sein muss, da eben ein Bruch größer wird, wenn der Zähler größer wird, und kleiner, wenn der Nenner größer wird.
Ich weiß allerdings nicht, was ich voraussetzen darf und wie ich das formal aufschreiben kann. Mir fehlt einfach der Ansatz, oder die Idee, das formal aufzuschreiben.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wird noch sup(A) > 0 vorrausgesetzt?
denn sonst kann das nicht sein, denn wählt man z.b.


so ist sup(A) = -1, inf(B) = 1 und sup(A/B) müsste dann -1 sein, allerdings ist -1/10 > -1 und auch in A/B enthalten.

falls sup(A) > 0 vorrausgesetzt wird, kann man es eigentlich leicht so beweisen:

Seien und beliebig

So gilt




multiplikation der ersten ungleichung mit 1/b > 0 und multiplikation der zweiten ungleichung (die rechte) mit sup(A) > 0 ergibt fast schon die behauptung, dass sup(A)/inf(B) obere schranke von A/B ist.
aRo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
wird noch sup(A) > 0 vorrausgesetzt?


ja, wird es, denn A ist eine Menge von POSITIVEN reelen Zahlen.

Mit deinem super Ansatz war es nun nicht mehr schwer zu zeigen, dass obere Schranke der Menge A/B ist. Nun stecke ich also beim Beweis zu zeigen, dass es auch die beste obere Schranke ist.
Deinen Ansatz oben konnte ich nicht ganz nachvollziehen, habe mir aber versucht einen eigenen zu bauen.

Sei dann existiert für alle ein , so dass gilt:



Da mir nicht eingefallen ist, wie ich das beweisen könnte, habe ich versucht die Negation zu widerlegen:



Ich muss also ein x finden, so dass die Ungleichung nicht geht, und zwar egal für welches Epsilon. Tja, da hänge ich im Moment....
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiß nicht ob dieser ansatz so geschickt ist, weil es bestimmt schwer wird die vorraussetzung so einzubringen.

viel einfacher ist es die vorraussetzung einfach als erstes hinzuschreiben und daraus die behauptung herzuleiten.

Die erste Vorraussetzung ist, dass sup(A) und inf(B) existieren.

Sei also vorgegeben.

Dann gibt es ein und ein , sodass folgende ungleichungen gelten:




daraus können wir aber die behauptung noch nicht einfach herleiten, weswegen wir einen trick verwenden.
da sup(A) sowie inf(B) konstant und größer 0 sind, kann man das epsilon beliebig mit diesen beiden zahlen multiplizieren oder durch sie dividieren.
damit es am ende gerade passt, mache ich es mal so:



nun versuch mal weiter zu machen wie bei dem beweis, dass supA/infB eine schranke ist. denke einfach immer ans ziel:
 
 
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von aRo
Zitat:
Original von tmo
Beweise erstmal, dass sup(A)/inf(B) überhaupt eine obere schranke von A/B ist.


auch das schaffe ich nicht. Ich mein, es ist doch logisch, dass sup(A)/inf(B) die oberste Schranke sein muss, da eben ein Bruch größer wird, wenn der Zähler größer wird, und kleiner, wenn der Nenner größer wird.


Richtig, und genau das verwendest du. Setze



Dann gilt für alle und alle



Dabei wurde benutzt, dass für positive reelle Zahlen x und y gilt:

aRo Auf diesen Beitrag antworten »

hi!

@tmo:

Danke für die Erklärung. Was ich mich nur frage ist, darf ich denn beide unabhängig voneinander durch die Gegend multiplizieren? Ich verstehe ja, dass es prinzipiell geht, da Epsilon nun mal frei wählbar ist, aber dennoch muss doch bleiben.
Nichtsdestotrotz habe ich versucht deinen Ansatz weiter umzuformen, konnte aber kein x a la finden.

Mit deinem Start habe ich dann auch mal selbst losgelegt, bin aber nicht weiter als:
(ohne Epsilon mit irgendwas zu multiplizieren) gekommen. Allerdings kriege ich den zweiten Bruch nicht entsprechend umgeformt, auch mit Bearbeiten von Epsilon nicht.


@WebFritzi:

Deinen Hinweis verstehe ich nicht ganz. Soll das nun auch beweisen, dass sup(A)/inf(B) obere Schranke ist? Aber da hast du doch im Prinzip direkt einfach das Ergebnis hingeschrieben, weils logisch ist Augenzwinkern Ich denke nicht, dass das in diesem Fall als Beweisschritt gelten darf.
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