Untervektorraum aller Polynome etc.

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Franzi1986 Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum aller Polynome etc.
Wunderschönen Guten Abend:-)

Ich habe zwei kleine Probleme:

1. Aufgabe: V sei die Menge aller Polynome mit reelen Koeffizienten und vom Grad . Warum ist V ein Untervektorraum aller Polynome? Bestimmen Sie die Dimension von V und geben Sie eine Basis an.

Also ich weiß, dass die Dimension = dim6 und dass die Basis = ist...mein Problem ist, dass ich nicht ganz sicher bin beim Zeigen der Unterraumkriterien.

Zum Beispiel lautet ja das erste Kriterium ...kann ich dann ein Polynom herausnehmen und Null einsetzen...reicht das...oder muss ich alle Polynome darauf testen...

...und beim zweiten Kriterium...zum Beispiel ...kann ich dann zwei beliebige Polynome auswählen oder?

Vielleicht kann mich jemand zurück auf meine Spur bringen;-)

2. Aufgabe: Sei L die Menge der Lösungen (x,y,z) des linearen homogenen Gleichungssystem





Begründen Sie, warum L ein Untervektorraum des , ermitteln Sie eine Dimension und eine Basis...

Da fehlt mir irgendwie der Ansatz...habe das Gleichungssystem mal gelöst und kan auf x,y,z = 0

Kann mir jemanbd helfen...habe mich auch mit Latex bemüht...hoffe, dass ist ok;-)

glg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum aller Polynome etc.
Zitat:
Original von Franzi1986
Zum Beispiel lautet ja das erste Kriterium ...kann ich dann ein Polynom herausnehmen und Null einsetzen...reicht das...oder muss ich alle Polynome darauf testen...

Du mußt schlicht und ergreifend zeigen, daß das Null-Polynom ein Element deines Untervektorraums ist.

Zitat:
Original von Franzi1986
...und beim zweiten Kriterium...zum Beispiel ...kann ich dann zwei beliebige Polynome auswählen oder?

Im Prinzip ja. Du mußt zeigen, daß für jedes beliebige Paar (u, v) von Polynomen aus V die Summe u+v wieder ein Element von V ist.

Zitat:
Original von Franzi1986
Da fehlt mir irgendwie der Ansatz...habe das Gleichungssystem mal gelöst und kan auf x,y,z = 0

Da hast du aber etliche Lösungen unterschlagen. Eine weitere Lösung (und das sind noch lange nicht alle) wäre x=1, y=9 und z=10.

Auch hier mußt du für die Lösungsmenge L nur die Untervektorraum-Eigenschaften nachweisen.
 
 
Franzi1986 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank, dann weiß ich jetzt, wie das mit dem Unterraum geht...jetzt habe ich noch eine Frage...heißt das, dass ich mir im endefekt...jede Gleichung rausnehme und gucke...wann sie null wird...und dann mit den anderen überprüfe...weil, wenn ich ein Gleichungssystem löse, kam bei mir immer die Lösung X=0,y=0,z=0 raus...naja..ist vielleicht auch eine komische Frage....und dann muss ich anhand der Lösungsmenge die Unterraumkriteren prüfen oder kann ich das schon vorher machen...

lg

PS: Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, aber wie zeige ich, dass das Nullpolynom Elemt meines Untervektorraums ist...einfach für die x 0 einsetzen und...aber dann komm t ja raus...kann ich daraus schließen, dass die Eigenschaft zutrifft...ich stelle ziemlich viele Fragen...sorry...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht wirklich. Außer der Tatsache, daß du zeigen mußt, daß (0; 0; 0) zur Lösungsmenge gehört (was du ja schon gemacht hast), mußt du überhaupt nicht die Lösungsmenge bestimmen, sondern nur die Unterraum-Eigenschaften nachweisen. Die solltest du dir erstmal genauer anschauen.

EDIT:
Zitat:
Original von Franzi1986
PS: Irgendwie stehe ich auf dem Schlauch, aber wie zeige ich, dass das Nullpolynom Elemt meines Untervektorraums ist...einfach für die x 0 einsetzen und...aber dann komm t ja raus...kann ich daraus schließen, dass die Eigenschaft zutrifft...ich stelle ziemlich viele Fragen...sorry...

Wie sieht denn ein Polynom mit Grad <= 5 allgemein aus?
Franzi1986 Auf diesen Beitrag antworten »



also, dass ist für mich ein polynom vom Grad 5...natürlich beinhaltet kleiner fünf, alle anderen polynome vom Grad 4,3,2,1,0

und nun?


Bezüglich der anderen Aufgabe:

1. Ich dachte mir zunächst ist ja zu zeigen :

Also habe ich folgendes gemacht:

Ich dachte mir, das sich zeigen muss....(0,0,0) ist Element von L:

d.h.

1. 2*0 + 2*0-2*0 =0 ist wahr
2. 3*0- 7*0+6*0 =0 ist wahr
3. 7*0 - 3*0 +2*0 ist wahr

also gilt dieses Keiterium

2. Dann will ich zeigen

also habe ich definiert:
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Franzi1986


also, dass ist für mich ein polynom vom Grad 5...natürlich beinhaltet kleiner fünf, alle anderen polynome vom Grad 4,3,2,1,0

und nun?

Und wie könntest du die Koeffizienten a_0, ..., a_5 wählen, so daß P(x) das Nullpolynom ist, daß also immer P(x) = 0 ist?
~I(); Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube hier liegt ein Verständnisproblem vor. Du darfst hier für x nichts konkretes einsetzen. Wer sagt dir denn, dass es sich bei x um eine Zahl handelt? Es könnten genauso gut Matrizen oder Endomorphismen sein. Der Vektorraum der Polynome ist eine Verallgemeinerung des Polynombegriffs, den man aus der Schule kennt (und der sich auf reelle Zahlen als Urbildbereich beschränkt). Das x hier fungiert lediglich als ein Platzhalter, was es konkret ist, weiß man nicht. Du musst halt eine andere Möglichkeit finden ein Polynom so zu konstruieren dass, egal was man einsetzt, immer 0 rauskommt.

Gruß
~I();
Franzi1986 Auf diesen Beitrag antworten »

d.h. ich muss für die Koeffizienten a_0 bis a_5 0 einsetzen oder für diese 0 wählen, da dann immer 0 raus kommt, aber wie schreibe ich das auf...das ist mein Problem...kann ich einfach sagen, dass ich das mache oder, das sunter dieser Beding das Kriterium erfüllt ist...glg
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

In etwa. Oder einfach so:

Das Polynom ist offensichtlich ein Element von V und wegen P(x)=0 für alle x identisch mit dem Null-Polynom.

Jetzt mußt du noch die weiteren Eigenschaften eines Untervektorraums nachweisen.
lokomotive Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
In etwa. Oder einfach so:

Das Polynom ist offensichtlich ein Element von V und wegen P(x)=0 für alle x identisch mit dem Null-Polynom.

Jetzt mußt du noch die weiteren Eigenschaften eines Untervektorraums nachweisen.


Hallo allerseits,

ich glaube ich bin im selben Kurs wie Franzi Wink .

Meine Frage ist:
reicht es zu zeigen, dass bei der Addition zweier Polynome z.B. f(x) + g(x) =
"irgendwas" + 2 * f(x) ist?
Das irgendwas ist in g(x) bereits enthalten, und 2 ist ein Element der reellen Zahlen.

Ich hoffe ich habe nicht zu viel verraten, falls es stimmen sollte.
~I(); Auf diesen Beitrag antworten »

Demnach wäre f(x) = f(x) + 0 = 0 + 2*f(x)... da stimmt was nicht. Nimm dir einfach 2 Polynome und addiere sie. Ein bisschen Kommutativ- und Distributivgesetz angewandt, und du bist fertig.
lokomotive Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ~I();
Demnach wäre f(x) = f(x) + 0 = 0 + 2*f(x)... da stimmt was nicht. Nimm dir einfach 2 Polynome und addiere sie. Ein bisschen Kommutativ- und Distributivgesetz angewandt, und du bist fertig.


Sorry, ich habe mich wohl undeutlich ausgedrückt.

g(x) = f(x) + a0

Und somit wäre g(x) + f(x) = a0 + 2 * f(x), zum Beispiel.

Bloss ist das b*f(x) V auch ein Kriterium, das erst bewiesen werden muss, oder nicht?

Dann würde sich aber g(x)+f(x) aus diesem ableiten, also muss es gar nicht bewiesen werden?
Und meine Schwierigkeit dabei ist, dass aber zuerst die Addition, und erst dann die Multiplikation bzgl. eines Skalars gezeigt werden soll.
lokomotive Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht über das Einerelement und Distributivität?

2* f(x) = (1+1) * f(x) = usw.

Und da a0 und f(x) sowieso in V sind, habe ich es?!
~I(); Auf diesen Beitrag antworten »

Also!

Du willst zeigen, dass für 2 beliebige gilt: . Sicherlich kann man g so zerlegen, dass g=f+"irgendwas" und somit g+f=2*f + "irgendwas" gilt. Aber wer sagt dir, dass 2*f + "irgendwas" in V liegt? Das wollen wir ja gerade zeigen. Nimm dir einfach zwei Polynome


und addiere diese. Stelle das ganze dann geschickt um und zeige damit dann, dass f+g wieder in V liegt.
lokomotive Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ~I();
Also!

Du willst zeigen, dass für 2 beliebige gilt: . Sicherlich kann man g so zerlegen, dass g=f+"irgendwas" und somit g+f=2*f + "irgendwas" gilt. Aber wer sagt dir, dass 2*f + "irgendwas" in V liegt? Das wollen wir ja gerade zeigen. Nimm dir einfach zwei Polynome


und addiere diese. Stelle das ganze dann geschickt um und zeige damit dann, dass f+g wieder in V liegt.


Danke erstmal, dachte anfangs ich wüsste bescheid, aber irgendwie wird es immer komplizierter. verwirrt

Unser Tutor hat uns das f(x) und g(x) vorgegeben, daher habe ich das verwendet.

Reicht es dann zu sagen, die Summe zweier Koeffizienten aus R ist ebenfalls aus R, oder muss ich das beweisen? Die Basis bleibt ja gleich.

also z.B. und und fertig, da die Basis gleich bleibt
~I(); Auf diesen Beitrag antworten »

Hier brauchst du gar nicht mit Basen argumentieren. Dass aus schon für einen Körper folgt, ist trivialerweise gegeben, da dies eines der Körperaxiome ist.
lokomotive Auf diesen Beitrag antworten »

Ok vielen Dank.
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