Binomialkoeffizienten

31.10.2007, 14:21

Musti

Binomialkoeffizienten

Zeige durch direktes Ausrechnen, aber auch durch Induktion:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ k \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \alpha \\ k+1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \alpha+1 \\ k+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$

So durch direktes Ausrechnen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot ... \cdot (\alpha-k+1)}{k!}+ \frac{\alpha \cdot ... \cdot (\alpha -k)}{(k+1)!}= \frac{(k+1)\cdot \alpha \cdot (\alpha-1)\cdot ...\cdot (\alpha-k+1)+ a \cdot ... \cdot (\alpha-k)}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin verstehe ich es.

Dann aber kommt in der Lösung folgender Schritt:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+1)\cdot \alpha \cdot (\alpha-1)\cdot ...\cdot (\alpha-k+1)+ a \cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k)}{(k+1)!}=\frac{[(k+1)+(\alpha-k)]\cdot \alpha \cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k+1)]}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Wurde $\begin{eqnarray*} (k+1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (\alpha-k) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert?
Wenn ja wieso darf man das?

Danke

31.10.2007, 14:35

klarsoweit

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RE: Binomialkoeffizienten

Zitat:

Original von Musti
$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha \cdot (\alpha-1) \cdot ... \cdot (\alpha-k+1)}{k!}+ \frac{(\alpha+1)\cdot \alpha \cdot ... \cdot (\alpha -k)}{(k+1)!} \end{eqnarray*}$

Hmm?

Soll der 2. Summand gleich $\begin{eqnarray*} \binom{\alpha}{k+1} \end{eqnarray*}$ sein?

Wenn ja, verstehe ich den Faktor alpha+1 im Zähler nicht.

31.10.2007, 14:36

therisen

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Distributivgesetz:
$\begin{eqnarray*} (k+1)\prod_{i=1}^k(\alpha-i+1)+\prod_{i=1}^{k+1}(\alpha-i+1)= (k+1)\prod_{i=1}^k(\alpha-i+1)+(\alpha-k)\prod_{i=1}^k(\alpha-i+1) =(k+1+\alpha-k)\prod_{i=1}^k(\alpha-i+1)=\prod_{i=0}^k(\alpha-i+1) \end{eqnarray*}$

Das $\begin{eqnarray*} \alpha+1 \end{eqnarray*}$ bei dem zweiten Summanden ist falsch.

Gruß, therisen

31.10.2007, 14:45

Musti

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War ein Schreibfehler Augenzwinkern

Ich verstehe:

Ich klammere sozusagen: $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k+1) \end{eqnarray*}$ aus oder?

31.10.2007, 14:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Ich klammere sozusagen: $\begin{eqnarray*} \alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k+1) \end{eqnarray*}$ aus oder?

Genau.

31.10.2007, 15:08

Musti

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Wie gehe ich jetzt nun vor wenn ich das durch Induktion lösen will?
Wie mache ich den Induktionsanfang?
Setze ich für $\begin{eqnarray*} \alpha=k=1 \end{eqnarray*}$ ein?

Hab hier echt sehr wenig Ahnung.

Danke

31.10.2007, 15:13

klarsoweit

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Du wählst alpha beliebig aber fest und machst eine Induktion über k. Induktionsanfang wäre dann für k=0.

31.10.2007, 21:32

Musti

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Alles klar dann gehen wir es mal an.

Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \alpha \\ 0+1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha+1 \\ 0+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha +1 =\alpha +1 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt: $\begin{eqnarray*} k\Rightarrow k+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \alpha \\ k+1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} \alpha \\ k+2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \alpha+1 \\ k+2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... (\alpha-k-1)\cdot (\alpha-k)}{(k+1)!}+\frac{\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha -k-1)}{(k+2)!}=\frac{(k+2)\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... (\alpha-k+1)\cdot (\alpha-k)+\alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k)\cdot (\alpha -k-1)}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{[(k+2)+(\alpha-k-1)]\cdot \alpha\cdot (\alpha-1)\cdot ... \cdot (\alpha-k)}{(k+2)!}=\frac{(\alpha+1)\cdot \alpha \cdot ... \cdot (\alpha-k-1)}{(k+2)!} \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Danke

01.11.2007, 13:53

Musti

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Habe noch eine Frage:

Und zwar soll ich zeigen, dass für natürliches n gilt:

$\begin{eqnarray*} {n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^n \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht, setze im Binomischen Satz $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ .
Wie kommt man darauf im binomischen Satz $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ zu setzen.

Bekommt man das aus der Information, dass $\begin{eqnarray*} {n \choose 0}={n \choose n}=1 \end{eqnarray*}$

Denn dass $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ im binomischen Satz steht ja für $\begin{eqnarray*} {n \choose 0} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {n \choose n} \end{eqnarray*}$ .

Daraus würde resultieren, dass $\begin{eqnarray*} (1+1)^n=2^n \end{eqnarray*}$ ist.

01.11.2007, 14:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Denn dass $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ im binomischen Satz steht ja für $\begin{eqnarray*} {n \choose 0} \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} b^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} {n \choose n} \end{eqnarray*}$ .

Unfug.

Schau dir mal den binomischen Satz intensiv an und probiere den Tipp:

$\begin{eqnarray*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \end{eqnarray*}$

Was die obige vollständige Induktion angeht, hänge ich momentan selbst. Mir scheint, daß du in deinem Beweis den Rechenweg des direkten Beweises verwendest. Dann brauche ich aber auch keine vollständige Induktion zu machen.

01.11.2007, 14:17

Musti

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Ich weiß nicht so recht was ich mit dem Tipp anfangen soll.
Wenn ich das aufschreibe erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} a^n+{n \choose 1}a^{n-1}b+{n \choose 2}a^{n-2}b^2+{n \choose 3}a^{n-3}b^3+...+{n \choose n-1}ab^{n-1}+b^n \end{eqnarray*}$

Irgendwie hängts grad bei mir Augenzwinkern

Edit: Ich glaub ich habs.
Setze ich nun $\begin{eqnarray*} a=b=1 \end{eqnarray*}$ so erhalte ich: $\begin{eqnarray*} (1+1)^n={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+...+{n \choose n}=2^n \end{eqnarray*}$

Ist dass denn schon der Beweis?

01.11.2007, 14:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von Musti
Ist dass denn schon der Beweis?

Na was dachtest du denn? Simpel, nicht. Augenzwinkern

01.11.2007, 14:40

Musti

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Ja kann man wohl so sagen. Augenzwinkern

Danke dir Klarsoweit

Jetzt müsste ich nur noch wissen wie ich den ersten Beweis mit vollständiger Induktion löse?

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