Mengenlehre

13.04.2005, 15:48

flixgott

Mengenlehre

ich soll folgendes im zusammenhang mit einer aufgabe zeigen und irgendwie komme ich gerade nicht so richtig auf den kniff.. vielleicht kann mir ja jemand eine zündende idee liefern:
es gilt:

$\begin{eqnarray*} (i) \emptyset \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii) A,B \in R \Rightarrow A \setminus B \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (iii) A,B \in R \Rightarrow A \cup B \in R \end{eqnarray*}$

und gezeigt werden sollen folgende aussagen:

$\begin{eqnarray*} (i)' A,B \in R \Rightarrow A \cap B \in R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (ii)' A,B \in R \Rightarrow A \bigtriangleup B \in R \end{eqnarray*}$

wobei gilt:

$\begin{eqnarray*} A \bigtriangleup B= (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{eqnarray*}$

(dies nennt man die symmetrische differenz.)

13.04.2005, 16:20

N8schichtler

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RE: Mengenlehre
Ich hab einen Tipp:
Beweise zuerst $\begin{eqnarray*} (ii)' \end{eqnarray*}$ und erst dann $\begin{eqnarray*} (i)' \end{eqnarray*}$

Außerdem:
Zeichne die Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mal als überlappende Kreise und überlege, was $\begin{eqnarray*} A\setminus B, A\cup B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ ist.

13.04.2005, 16:25

flixgott

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ich habe gerade (i)' mit (ii)' gezeigt:

$\begin{eqnarray*} A \cap B= (A \cup B) \setminus (A \bigtriangleup B) \end{eqnarray*}$

13.04.2005, 16:35

N8schichtler

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Stimmt das?
Ist das nicht B?

Fang mit ii an, dann ist es ganz leicht.

13.04.2005, 16:39

flixgott

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siehe oben.. habs grad nochmal richtig gestellt!

das sollte es dann jetzt sein:
$\begin{eqnarray*} A \bigtriangleup B= (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \end{eqnarray*}$

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

13.04.2005, 16:45

N8schichtler

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Genau! Und dass (ii)' gilt ist doch leicht zu sehen, oder?

13.04.2005, 16:50

flixgott

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meinst du (i)'? dann klar:

Zitat:

Original von flixgott
ich habe gerade (i)' mit (ii)' gezeigt:

$\begin{eqnarray*} A \cap B= (A \cup B) \setminus (A \bigtriangleup B) \end{eqnarray*}$

ansonsten ist mir schon klar, dass aus den geziegten äquivalenzen auch die entsprechenden behauptungen von oben folgen!

danke @ n8schichtler!

15.04.2005, 15:04

WebFritzi

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Kannst du denn jetzt (ii)' beweisen?

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