Zeige die Elastizität

31.10.2007, 16:58

Christofer

Zeige die Elastizität

Gegen sind folgende Funktionen

$\begin{eqnarray*} El([f(x)]^p , x ) = p * El(f(x)) , x) \end{eqnarray*}$

mann soll nur durch Rechnung zeigen dass dies auch stimmt. Mit Hilfe der Definition der Elastizität und der Kettenregel

Nach der Kettenregel gibt es ja eine innere und äußere Ableitung.

also z.b:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = u'(v(x)) * v'(x) \end{eqnarray*}$

in meinem Fall dann

$\begin{eqnarray*} p * EL(f(x)^p-1) * f'(x) \end{eqnarray*}$

verstehe nicht ganz wie dass oben das selbe sein kann. oder hab ich hier einen Denkfehler?

btw: wie kann ich denn ich den z.B. die Exponenten hier im Editor hochstellen bzw. tieferstellen?

thx im Vorraus

31.10.2007, 18:35

mYthos

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Der Beweis geschieht einfach so, dass man die Elastizität der gegebenen Funktion berechnet. Der Ausdruck

$\begin{eqnarray*} E_{f}(x) = f '(x) \cdot \frac{x}{f(x)} \end{eqnarray*}$

heisst die Elastizität von f an der Stelle x.

-----------------------------------------------------------------------------

Wenden wir dies nun auf die gegebene Funktion an

$\begin{eqnarray*} f_p(x): y = [f(x)]^p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{f_p}(x) = p \cdot f(x)^{p-1} \cdot f '(x) \cdot \frac{x}{f(x)^p} \end{eqnarray*}$

Führe dies nun richtig zu Ende und vergleiche! Und du bist schon fertig ...

Bemerkung:

Hochstellen: x^{abc} ->
$\begin{eqnarray*} x^{abc} \end{eqnarray*}$

Tiefstellen: x_{123} ->
$\begin{eqnarray*} x_{123} \end{eqnarray*}$

(in LaTex einschließen)

mY+

03.11.2007, 10:11

Christofer

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ok aber warum steht da in der Elastizität von f(x)

$\begin{eqnarray*} f'(x) * x / f(x)^{p} \end{eqnarray*}$

warum das hoch p wie kommt dass in die Elastizität von f(x) ... wenn man das nach der Kettenregel rechnet, handelt es sich ja bei f(x) um die innere Ableitung und eine f(x) würde genügen

egal wenn ich das dann zu Ende führen soll würde ich so vorgehen

$\begin{eqnarray*} = p * f(x)^{p-1} * f'(x) * x * f(x)^{-p} \end{eqnarray*}$

ich muss es ja nur mehr so umformen dass hier p * die Elastizität von f(x) steht, aber wie gesagt da krieg ich mit dem hoch p meine Probleme

03.11.2007, 14:18

mYthos

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Zitat:

Original von Christofer
...
egal wenn ich das dann zu Ende führen soll würde ich so vorgehen

$\begin{eqnarray*} = p * f(x)^{p-1} * f'(x) * x * f(x)^{-p} \end{eqnarray*}$

ich muss es ja nur mehr so umformen dass hier p * die Elastizität von f(x) steht, aber wie gesagt da krieg ich mit dem hoch p meine Probleme

Ich verstehe dein Problem eigentlich nicht. Das ist doch ohnehin das, was auch ich dir als Ansatz hingeschrieben habe. Das formst du noch ein klein wenig um zu

$\begin{eqnarray*} \ldots = p \cdot f(x)^{p-1} \cdot f'(x) \cdot \frac {x}{f(x)^{p}} \end{eqnarray*}$

Und nun sollst du rechts durch $\begin{eqnarray*} f(x)^{p-1} \end{eqnarray*}$ kürzen! Dann steht dort

$\begin{eqnarray*} \ldots = p \cdot f '(x) \cdot \frac{x}{f(x)} = p \cdot E_f (x) \end{eqnarray*}$

Das wär's gewesen!

mY+

04.11.2007, 15:30

Christofer

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danke jetzt hab ichs endlich gecheckt ... unglaublich wie verpeilt man manchmal sein kann Augenzwinkern

dann hätte ich noch 2 Beispiele, 2 Funktionen von denen man wiedrum die Elastizität bestimmen muss

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^{p} * e^{ax} \end{eqnarray*}$

würde ich so lösen: $\begin{eqnarray*} = p * x^{p-1} * ln a e^{ax} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(x) = x^{p}* ln(x) \end{eqnarray*}$

würde ich so lösen: $\begin{eqnarray*} = p * x^{p-1} * 1/x \end{eqnarray*}$

in der Angabe steht a und p sind konstant ... weiß deshalb nicht ob meine Lösung stimmt

04.11.2007, 17:27

mYthos

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Deine Ableitung ist doppelt falsch. Erstens hast du die Produktregel vergessen und zweitens stimmt auch die Ableitung der e-Funktion nicht (dort kommt kein Logarithmus).

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}e^{ax} = a \cdot e^{ax} \end{eqnarray*}$

mY+

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