Berechnung der Ober-bzw. Untersumme auf beliebe Intervallgrenzen

13.04.2005, 18:00

oldwise

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Berechnung der Ober-bzw. Untersumme auf beliebe Intervallgrenzen

Hi.

Ich habe mal eine Frage:

Und zwar soll ich die Ober- bzw. Untersumme von $\begin{eqnarray*} f(x)=x³ \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ berechnen. Ich habe mir dazu folgendes gedacht:

Schrittweite: $\begin{eqnarray*} \Delta x= \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$
Unterteilungsstellen: $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{n}*(b-a) \end{eqnarray*}$

Um die Sache zu vereinfachen, substitutiere ich noch $\begin{eqnarray*} \epsilon := b-a \end{eqnarray*}$ , also gilt $\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k=\epsilon \frac{k}{n} \end{eqnarray*}$ .

Die Formel für die Obersumme lautet $\begin{eqnarray*} O(n)=\sum_{k=a}^n f(x_k) \Delta x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} O(n)=\sum_{k=a}^n (\frac{k}{n}\epsilon)^3 \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray*}$

Nach umformen komme ich dann auf:

$\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{\epsilon^4}{n^4}\sum_{k=a}^n k^3 \end{eqnarray*}$

Der Grenzwert davon ist aber 0, da stimmt doch was nicht! Wo ist mein Fehler?

13.04.2005, 18:38

quarague

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ich habe jetzt nicht nachgerechnet, aber die Obersumme soll doch gar nicht gegen 0 konvergieren. Du musst noch die Untersumme analog aufstellen, und dann soll die Differenz der beiden gegen 0 konvergieren, und dass tut sie auch wenn ich das richtig überblicke

13.04.2005, 18:41

JochenX

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ich hab das jetzt nicht durchgeschaut, aber allein am ende würde ich kaum sagen, dass ich sofort sehe, dass das gegen 0 konvergiert.
diese summe wird doch für n gegen unendlich auch mächtig groß, oder sehe ich das falsch?

aber irgendwie muss ich das ganze noch mal durchdenken...... deine summe bis n kommt mir grade eh komisch vor...

edit: zum beispiel das....
$\begin{eqnarray*} x_k=k*\frac{(b-a)}{n}+a \end{eqnarray*}$

13.04.2005, 20:43

oldwise

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ich könnte auch noch umschreiben:

$\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{\epsilon^4}{n^4}\sum_{k=a}^n k^3=\frac{\epsilon^4}{n^4}((a)^3 + (a+1)^3 + (a+2)^3 + ... + (n-1)^3 + (n)^3) \end{eqnarray*}$

wenn ich nun ausmultipliziere und den Grenzwert betrachte dann komme ich auf 0.

normalerweise muß doch folgendes rauskommen:

$\begin{eqnarray*} O(n) = \frac{1}{4}b^4-\frac{1}{4}a^4 \end{eqnarray*}$

ich verstehe es nicht ... verwirrt

verwirrt

13.04.2005, 20:51

JochenX

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du hast aber unendlich viele summanden oben!
und wieso laufen die von a (untere integralgrenze) bis n??

und einen fehler habe ich ja shon bemängelt....

13.04.2005, 20:54

oldwise

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Zitat:

und wieso laufen die von a (untere integralgrenze) bis n??

Ich teile das Intervall in (b-a) n Teile. Also muß ich doch n-mal Aufsummieren, oder?

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13.04.2005, 21:05

JochenX

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dann sollte es wohl von 1 bis n und nicht von a bis n laufen verwirrt

verwirrt

13.04.2005, 21:17

oldwise

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Zitat:

dann sollte es wohl von 1 bis n und nicht von a bis n laufen

stimmt! logik-fehler von mir.

wenn ich jetzt im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,a] \end{eqnarray*}$ die Obersumme berechnen würde, dann würde ich $\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{n}a \end{eqnarray*}$ nehmen.

Nun ist mein Intervall aber [a,b] und deshalb dachte ich mir $\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{(b-a)}{n} = \frac{\epsilon}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{n}(b-a)=\frac{k}{n}\epsilon \end{eqnarray*}$

Wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} x_k=\frac{k}{n}(b-a)+a=\frac{k}{n}\epsilon +a \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

also ich komme einfach nicht weiter!

ich habe mittlerweile gerafft, dass mein $\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{(b-a)}{n} \end{eqnarray*}$ sein muß und $\begin{eqnarray*} x_k = a + k\Delta x \end{eqnarray*}$

wenn ich das in die Formel für die Obersumme einsetze, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} O(n)=\sum_{k=1}^n (a+k\Delta x)^3 \Delta x = \Delta x \sum_{k=1}^n (a^3 + 3a^2(k\Delta x) + 3a(k\Delta x)^2 + (k\Delta x)^3) \end{eqnarray*}$

Und jetzt ? Was kann/muß ich jetzt tun? bin echt schon am verzweifeln traurig

traurig

Am Ende muß doch $\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{1}{4}b^4-\frac{1}{4}a^4 \end{eqnarray*}$ oder liege ich da falsch?

Bitte um Hilfe! Gott

Gott

verwirrt

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

16.04.2005, 19:03

quarague

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es wird ein bisschen lang aber du kannst mit deiner Formel jetzt weiterrechnen, du brauchst noch die allgemeinen Summenformeln
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k = \frac{(n+1)n}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{(n+1)n(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 = \frac{(n+1)^2n^2}{4} \end{eqnarray*}$
die finden sich in jedem Tafelwerk
und damit findest du dann eine Formel für O(n) ohne Summenzeichen
deutlich einfacher kannst du nachweisen, das dein Integral konvergiert, du kannst für die Untersumme eine ähnliche Formel aufstellen und wenn du die beiden subtrahierst, siehst du, das fast alle Summanden wegfallen und der Rest für n gegen unendlich gegen 0 konvergiert.

16.04.2005, 19:26

oldwise

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Die Formeln kenne ich schon und habe sie z.T. auch schon benutzt...

In wie fern hilft es mir, wenn ich zeige, dass mein Integral konvergiert?
Das ist doch nicht meine Aufgabe. Ich soll das Integral berechnen mit Hilfe der Ober- bzw. Untersumme verwirrt

verwirrt

16.04.2005, 21:51

AD

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Zitat:

Original von oldwise
In wie fern hilft es mir, wenn ich zeige, dass mein Integral konvergiert?
Das ist doch nicht meine Aufgabe. Ich soll das Integral berechnen mit Hilfe der Ober- bzw. Untersumme verwirrt

verwirrt

Die Konvergenz von Ober- und Untersummen, und zwar gegen denselben Grenzwert (welcher dann dem Integralwert entspricht), ist notwendig für die Existenz des Riemann-Integrals.

16.04.2005, 22:17

oldwise

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das ist ja richtig, aber das hilft mir nicht. Ich soll ja das Integral mit Hilfe der Summen berechnen, aber ich komme einfach nicht auf die entsprechende Form! traurig

traurig

Hilfe

16.04.2005, 22:25

AD

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Du hast die Formel für O(n) und die drei Summendarstellungen für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray*}$ , und natürlich sind Summen lineare Operatoren:

$\begin{eqnarray*} \sum_k (a_k+b_k)=\sum_k a_k + \sum_k b_k \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_k (ca_k)=c\sum_k a_k \end{eqnarray*}$

Was brauchst du denn noch? verwirrt

verwirrt

16.04.2005, 22:34

n!

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RE: Berechnung der Ober-bzw. Untersumme auf beliebe Intervallgrenzen
du hast doch schon fast alles richtig gemacht.

$\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{\epsilon^4}{n^4}\sum_{k=a}^n k^3 \end{eqnarray*}$

jetzt musst du die entsprechende Summenformel anwenden und dann einen grenzwertprozess machen!!

16.04.2005, 22:49

etzwane

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RE: Berechnung der Ober-bzw. Untersumme auf beliebe Intervallgrenzen
Ich könnte mir vorstellen, das Problem liegt in dem k=a in $\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^n k^3 \end{eqnarray*}$
in dem Ausdruck $\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{\epsilon^4}{n^4}\sum_{k=a}^n k^3 \end{eqnarray*}$ ,
denn da habe ich auch meine Probleme.

17.04.2005, 11:18

oldwise

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RE: Berechnung der Ober-bzw. Untersumme auf beliebe Intervallgrenzen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} O(n)=\frac{\epsilon^4}{n^4}\sum_{k=a}^n k^3 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf?

Muß es nicht $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ... \end{eqnarray*}$ lauten?

Ansonsten habe ich mit dem Ausdrucke keine Probleme. Ich schreibe ihn um, multipliziere aus und nehme den Grenzwert, doch auf das Ergebnis komme ich trotzdem nicht. Hammer

Hammer

verwirrt

17.04.2005, 12:43

quarague

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also ich glaube, du hast dich irgendwo verrechnet, bei mir kommt nämlich genau das raus, was da herauskommen soll
also du rechnest die 3 Summenformeln aus
dann setzt du für $\begin{eqnarray*} \Delta x = \frac{b-a}{n} \end{eqnarray*}$ ein
dann hast du 4 Summanden, die du jeweils in der Form
(Term in a und b) mal (Term in n)
aufschreiben kannst
dann musst du dir überlegen, wohin die Terme in n für n gegen unendlich konvergieren, am einfachsten mit Umformungen wie dieser:
$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n} \to 1 \end{eqnarray*}$
dann hast du nur noch Terme in a und b und wenn du die richtig zusammenfasst, kriegst du auch den vorhergesagten Wert für das Integral

17.04.2005, 13:15

oldwise

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Wo ist denn mein Edit hin??? verwirrt

verwirrt

Ich hatte vorhin meinen Beitrag editiert, dass ich einen workaround gefunden habe.

Ich teile die Obersumme $\begin{eqnarray*} O(n) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ auf in $\begin{eqnarray*} O_1(n) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,b] \end{eqnarray*}$ und in $\begin{eqnarray*} O_2(n) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [0,a] \end{eqnarray*}$

damit ergibt sich das Intergral auf $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} O_1(n) - O_2(n) \end{eqnarray*}$

Für die Untersumme analog, so dass ich am Ende auf das gewünschte Ergebnis komme.

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