Probleme beim finden der allgemeinen Lösung einer homogenen DGL

31.10.2007, 20:22

physiker

Probleme beim finden der allgemeinen Lösung einer homogenen DGL

Also...ich hab ne homog. DGL gegeben durch: X²+Y²-2XY\frac{dY}{dX} =0

Als Hinweis ist angegeben, dass \frac{Y}{X} =U sein soll...jetzt hab ich versucht dies zu lösen und bin auf folgende Gleichung gestoßen:

U²+2lnU=X²+C

kann das erstens stimmen und wenn ja, wie soll ich jetzt weitermachen???

Danke für eure Hilfe!!!

ModEdit: du kannst auch editieren

nochmal so dass es jeder versteht...
Also...ich hab ne homog. DGL gegeben durch: X²+Y²-2XY(dY/dX) =0

Als Hinweis ist angegeben, dass Y/X =U sein soll...jetzt hab ich versucht dies zu lösen und bin auf folgende Gleichung gestoßen:

U²+2lnU=X²+C

kann das erstens stimmen und wenn ja, wie soll ich jetzt weitermachen???

Danke für eure Hilfe!!!

31.10.2007, 21:42

mr_endres

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Zunächst einmal kannst du in diesem Forum auch LaTex benutzen, dann sehen die Formeln übersichtlicher aus.

Zitat:

Als Hinweis ist angegeben, dass Y/X =U sein soll...jetzt hab ich versucht dies zu lösen und bin auf folgende Gleichung gestoßen:

U²+2lnU=X²+C

kann das erstens stimmen und wenn ja, wie soll ich jetzt weitermachen???

Wie kommst du auf diese Gleichung ? Mit dem Tipp substituierst du in deiner DGL $\begin{eqnarray*} u=\frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ und beachtest, dass $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\dx}=u+u'x \end{eqnarray*}$ ist. Dann erhälst du ebenfalls eine DGL erster Ordnung die sich aber nach kleinem Umformen sehr schnell mit Trennung der Variablen lösen lässt.

31.10.2007, 21:58

vektorraum

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Wieso posten Physiker immer zweimal???

Du meinst die DGL $\begin{eqnarray*} x^2+y^2-2xyy'=0 \end{eqnarray*}$ ???

Dann ist der Tipp ja gut gemeint, denn du kannst dann nach Durchführung dieser Substitution die DGL auf den Typ Trennung der Variablen zurückführen. Also alles ganz einfach. Du kannst ja erstmal so schreiben

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=2xyy' \end{eqnarray*}$

Was musst du nun machen um die Substitution anwenden zu können???

31.10.2007, 22:06

physiker

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danke erstmal für die antworten!

also das hab ich soweit auch gemacht, hab dann durch 2xy geteilt...und hatte dann y' allein stehen!

31.10.2007, 22:08

physiker

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also folgt daraus y'=x/2y+y/2x

also y'=1/2u + u/2

aber wie nun weiter???

31.10.2007, 22:14

mr_endres

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Naja das hatte ich schon geschrieben. Du musst noch $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}y}{\dx}=y'=u+u'x \end{eqnarray*}$ ersetzen. Dann sollte es gehen.

31.10.2007, 22:16

physiker

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achso...also quasi nur $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dx} \end{eqnarray*}$ substituieren...ich habe versucht beide seiten zu substituieren...na ok, ich versuchs mal...

danke danke!!!

31.10.2007, 22:19

physiker

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ne, war natürlich quatsch...doch beide seiten, aber ich hab nen fehler gemacht^^...
muss ich dann später noch zurücksubstituieren???

31.10.2007, 22:26

mr_endres

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du erhälst nach Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} 1-u^2-2 xuu'=0 \end{eqnarray*}$ die Lösung $\begin{eqnarray*} u(x)=..?.. \end{eqnarray*}$ . Auf Grund deiner Substitution ist dann $\begin{eqnarray*} y(x)=x\cdot u(x) \end{eqnarray*}$ . Dann bist du fertig.

edit: Tippfehler in der Formel korrigiert, siehe nachfolgende Beiträge

31.10.2007, 22:32

physiker

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das versteh ich noch nicht so ganz...

also ich habe u+u'x= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2u} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{u}{2} \end{eqnarray*}$

wie soll ich das in diese gleichung umwandeln???

31.10.2007, 22:42

mr_endres

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einfach umformen : beide Seiten mit 2u multiplizieren und dann vereinfachen, dann steht dasselbe da.

31.10.2007, 22:48

physiker

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aber wo ist dann das x hin???

31.10.2007, 22:53

mr_endres

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Sorry ich hatte mich oben vertippt, ich hatte das x vergessen. Das editiere ich gleich noch.