Anwendung Fubini - aber wie?

31.10.2007, 20:47

toasten

Anwendung Fubini - aber wie?

Hallo,

ich soll folgende Beziehung zeigen, wobei $\begin{eqnarray*} f: \left[a,b\right] \times \left[ a,b\right] \rightarrow R \end{eqnarray*}$ stetig ist:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \left( \int_a^y f(x,y) dx \right) dy = \int_a^b \left( \int_x^b f(x,y) dy \right) dx \end{eqnarray*}$

Das wird sicherlich eine Anwendung von Fubini sein, aber wie gehe ich vor?

Danke
torsten

31.10.2007, 21:30

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Richtig, Fubini - und zwar angewandt auf die Funktion

$\begin{eqnarray*} g(x,y) = f(x,y) \cdot 1_A(x,y) \end{eqnarray*}$

mit einer geeigneten Indikatorfunktion $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ natürlich eine naheliegend gewählte Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist. smile

01.11.2007, 00:04

WebFritzi

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Und achte bei der schriftlichen Bearbeitung der Aufgabe darauf, dass du nicht vergisst zu erwähnen, dass die Voraussetzungen für den Satz von Fubini erfüllt sind.

01.11.2007, 08:35

toasten

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Hmm, gut.

Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} A = \left[ a,y \right] \times \left[ a,b \right] \subset W = \left[ a,b \right] \times \left[ a,b \right] \end{eqnarray*}$ . Da f stetig auf einem Würfel ist, ist f R-integrierbar... und Fubini ist anwendbar (reicht das?).

Mit Fubini müsste dann gelten:

$\begin{eqnarray*} \int_W f(x,y) \chi_A(x,y) dxy &= & \int_A f(x,y) dxy \\ &=& \int_a^b \left( \int_a^y f(x,y) dx \right) dy . \end{eqnarray*}$

Sprich, wenn ich nun meine Gleichheit vom Anfang zeigen möchte, muss ich einen anderen Würfel $\begin{eqnarray*} B=\left[ a,b \right] \times \left[ x,b \right] \subset W \end{eqnarray*}$ nehmen, diesen auf Fubini anwenden und dann hab ich's!?

Danke.
Gruß Torsten

01.11.2007, 09:42

WebFritzi

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Zitat:

Original von toasten
Ich habe jetzt $\begin{eqnarray*} A = \left[ a,y \right] \times \left[ a,b \right] \subset W = \left[ a,b \right] \times \left[ a,b \right] \end{eqnarray*}$ . Da f stetig auf einem Würfel ist, ist f R-integrierbar... und Fubini ist anwendbar (reicht das?).

Den Riemannschen Fubini kenne ich nicht so gut. Wenn es hier um den Lebesgueschen Fubini geht, würde ich so argumentieren: Die Funktion f ist stetig auf dem Kompaktum A, also beschränkt. Aus der Monotonie des Integrals und der Endlichkeit des Maßes des Quaders A folgt die Integrierbarkeit von f über A.

EDIT: Die von Arthur Dent angedeutete Menge A sollte allerdings ein Dreieck sein.

01.11.2007, 12:09

toasten

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Ein Dreieck??? ... aber ich glaub, mit den Beiden Würfeln habe ich es auch.

Danke.
Torsten

01.11.2007, 12:24

WebFritzi

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Nee, du solltest doch eher an ein Dreieck denken... Augenzwinkern

01.11.2007, 12:44

toasten

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...und wie sieht so ein Dreieck aus?

Wenn ich mir ein Koordinatensystem zeichen - den Nullpunkt als a deklariere und dann einen Punkt b auf der x- und y-Achse eintrage, diese beiden Schnittstellen verbinde, dann habe ich ein Dreieck.

ICh weiß jetzt nur nicht, wie ich diese Menge formal hinschreiben soll?
$\begin{eqnarray*} D = \left[ a,b \right] \times \left[ a, ?\right] \end{eqnarray*}$

Danke
Torsten

01.11.2007, 12:50

WebFritzi

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RE: Anwendung Fubini - aber wie?

Zitat:

Original von toasten
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \left( \int_a^y f(x,y) dx \right) dy \end{eqnarray*}$

Mach dir klar, wie und worüber hier integriert wird.

01.11.2007, 16:48

toasten

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RE: Anwendung Fubini - aber wie?
Irgendwie steh ich aufm Schlauch. Es wird doch über $\begin{eqnarray*} \left[ a,y\right] \times \left[ a,b\right] \end{eqnarray*}$ integriert. Aber da bin ich doch wieder bei meinem A von vorhin!?

02.11.2007, 10:18

WebFritzi

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y ist doch gar kein fester Wert. Wie willst du da über [a,y] x [a,b] integrieren?

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