Poisson-Verteilung

31.10.2007, 22:01

Shadow86

Poisson-Verteilung

Folgende Aufgabe:
Zeige: Ist $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray*} 0\leq p_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} np_n \to \lambda \end{eqnarray*}$ so gilt:

$\begin{eqnarray*} b_k(n)= \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} p_n^k(1-p_n)^{n-k} \to e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich das angehen? Ich habe $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ umformuliert in $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$
und dann habe ich durch Umformen der Gleichung erhalten: ... = $\begin{eqnarray*} \frac{n*p_n*p_n^{k-1}*(n-1)!*(1-p_n)^{n-k}}{(n-k)!k!} \end{eqnarray*}$

Dann kann ich $\begin{eqnarray*} np_n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ersetzen, aber dann hänge ich. Kann mir jemand weiterhelfen oder war der Weg ganz falsch?

01.11.2007, 00:09

Abakus

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RE: Poisson-Verteilung
Du weißt immerhin, wo du hin willst. Ziehe also den Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^k}{k!} \end{eqnarray*}$ aus deinem Term raus. Für die e-Potenz kennst du ebenfalls einen Grenzwert, d.h. du weißt wohin du deinen verbleibenden Term hin umformen müsstest.

Grüße Abakus smile

01.11.2007, 14:57

Shadow86

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RE: Poisson-Verteilung

Zitat:

Original von Abakus
...Für die e-Potenz kennst du ebenfalls einen Grenzwert, d.h. du weißt wohin du deinen verbleibenden Term hin umformen müsstest.

Grüße Abakus smile

Das verstehe ich jetzt nicht. Für $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ kenne ich einen Grenzwert, ja. Für große lambda geht es gegen null. Aber was bringt mir das hier?

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