Aufgabe zur Linearen Algebra und Stochastik

13.04.2005, 18:21

Austi

Aufgabe zur Linearen Algebra und Stochastik

Hallo liebe Mathematiker!

Ich soll eine Aufgabe aus den Bereichen der Linearen Algebra und der Stochastik lösen... kann mir jemand helfen??

Aufgabe 1

Um Aussagen über langfristige Bevölkerungswanderungen (Stadtflucht, Landflucht) treffen zu können, wurden Befragungen durchgeführt. Folgende Ergebnisse wurden ermittelt:

- 33 % der „Landbevölkerung“ will auch im nächsten Jahr auf dem Land wohnen.
- 67 % der „Landbewohner“ beabsichtigt in die Stadt zu ziehen.
- 75 % der „Stadtbevölkerung“ will auch im nächsten Jahr in der Stadt wohnen.
- 25 % der „Stadtbewohner“ beabsichtigt aufs Land zu ziehen.

Zurzeit (vor der Befragung) lebten 40 % der Bevölkerung auf dem Land und 60 % der Bevölkerung in der Stadt.

a) Berechnen Sie die Bevölkerungsentwicklung nach einem und nach zwei Jahren. Gehen Sie dabei von einer Gesamtbevölkerung vin 1 Mio. aus.

b) Untersuchen Sie allgemein die Bevölkerungswanderungen (unabhängig von einer konkreten Bevölkerungszahl) nach n Jahren durch geeignete Matrizendarstellungen.

Aufgabe 2

Ein Zigarettenhändler verkauft die Marken A und B. Laut einer Umfrage kaufen die Stammkunden täglich eine Schachtel. 80 % der A-Raucher und 70 % der B-Raucher bleiben markentreu.

Am Tag der Befragung wurden jeweils 50 Schachteln je Marke verkauft.
Mit welchen Verkaufszahlen kann der Zigarettenhändler nach 2 Tagen rechnen?

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Lösungsansatz:

1a)

Jahr 01: Stadt=718000 Bewohner und Land=282000 Bewohner
Jahr 02: Stadt=727440 Bewohner und Land=272560 Bewohner

--> passt das und wie geht man an die anderen Aufgaben heran??

MfG und Danke
Austi

13.04.2005, 23:33

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Sagen dir die Begriffe "Stochastische Matrix" und "Markov-Kette" etwas?
(Nicht, dass man hier unbedingt diese ganze Theorie braucht, aber verkehrt wäre es auf keinen Fall.)

Hier ist $\begin{eqnarray*} P=\begin{pmatrix} 0.33 & 0.67\\ 0.25 & 0.75\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine solche stochastische Matrix.

Wenn $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ der Vektor der Anteile von Land- und Stadtbevölkerung nach n Jahren ist, dann gilt

$\begin{eqnarray*} p_0=\begin{pmatrix} 0.4\\ 0.6\end{pmatrix},\quad p_1=P^T\cdot p_0,\quad p_2=P^T\cdot p_1 \end{eqnarray*}$

Wie jetzt die Gleichung für $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ aussieht, kannst du dir jetzt sicher denken.

Bei Aufgabe 2) ist es ähnlich, nur mit anderer Matrix und Zeiträumen.

13.04.2005, 23:52

Austi

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Hallo Arthur Dent!

Danke für Deine Antwort!

Aber zunächst einmal: Was meinst du hierzu:

zu 1a)

Jahr 01: Stadt=718000 Bewohner und Land=282000 Bewohner
Jahr 02: Stadt=727440 Bewohner und Land=272560 Bewohner

Ich habe das ja jetzt anders gelöst, als vielleicht verlangt! Kann man das auch mit deiner stochastischen Matrix lösen??

Wie die Gleichung für $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ aussieht weiß ich noch nicht, denn ich weiß nicht wofür dein $\begin{eqnarray*} P^T \end{eqnarray*}$ steht...

Kannste mir evt. weiterhelfen?? Danke

Austi

14.04.2005, 08:33

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$\begin{eqnarray*} P^T \end{eqnarray*}$ ist einfach nur die zu $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ transponierte Matrix, also

$\begin{eqnarray*} P^T=\begin{pmatrix} 0.33 & 0.25\\ 0.67 & 0.75\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Multiplikation von Matrix und Vektor kennst du ja wohl, wenn du eine solche Aufgabenformulierung gestellt bekommst!

Und ja, deine Ergebnisse für die ersten beiden Jahre stimmen - dasselbe erhältst du mit der Matrixschreibweise auch. Freude

16.04.2005, 00:41

Austi

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Hallo Arthur Dent!

Sorry... konnte leider nicht eher antworten!

Also bezüglich 1a):

1.Jahr

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.33 & 0.25 \\ 0.67 & 0.75 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 400000 \\ 600000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 132000+150000 \\ 268000+450000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 282000 \\ 718000 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

2.Jahr

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.33 & 0.25 \\ 0.67 & 0.75 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 282000 \\ 718000 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 93060+179500 \\ 188940+538500 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 272560 \\ 727440 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 1b) für $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ erhält man:

$\begin{eqnarray*} p_n= P^T * p_{n-1} \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} p_n= \begin{pmatrix} 0.33 & 0.67\\ 0.25 & 0.75\end{pmatrix} * p_{n-1} \end{eqnarray*}$

Kann man das zu 1b noch weiter ausrechnen?? Denn mich macht stutzig, wie man mithilfe dieser Formel z.B. die Bevölkerungsentwicklung nach 100 Jahren ausrechnen soll... das wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} p_{100}= \begin{pmatrix} 0.33 & 0.67\\ 0.25 & 0.75\end{pmatrix} * p_{99} \end{eqnarray*}$

Aber woher kennt man denn $\begin{eqnarray*} p_{99} \end{eqnarray*}$ ??

MfG und Danke
Austi

edit zu 2)

Nach dem ersten Tag

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.8 \\ 0.7 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 50 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 40+35 \end{pmatrix}=75 \end{eqnarray*}$

Nach dem zweiten Tag

75*2=150

stimmt das schon einmal so??

17.04.2005, 00:33

Gigaroom

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Hey Arthur Dent!

Hab mir das grad mal alles angeguckt!

Irgendwie stimmen doch wohl Deine und Austis gebildete transponierte Matrix nicht überein! Aber ich weiß nicht, wo der Denkfahler ist oder hab ich einen?! traurig

17.04.2005, 13:31

Austi

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Moin Gigaroom!

Nene, da haste schon recht... deshalb frage ich ja Arthur Dent, was er meint! Wäre lieb von Dir (Arthur Dent), wenn Du mir bitte etwas bezüglich meines letzten Posts sagen könntest! smile

Was meinst Du dazu??

MfG
Austi

17.04.2005, 20:24

Austi

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Man möge mir den Doppelpsot verzeihen!

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Thema kann geschlossen werden! Habe die Lösungen raus!

1a) 272560 --> Land und 727440 --> Stadt

1b)

$\begin{eqnarray*} p_n=(P^T)^n*p_0 \end{eqnarray*}$

2) mit der unter 1b) ermittelten Vorschrift lässt sich dies hier auch ganz flott lösen

Marke A: 57,5 und Marke B: 42,5

--> habe es endlich verstanden!!!

MfG und Danke
Austi

18.04.2005, 14:26

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Zitat:

Original von Austi
2) mit der unter 1b) ermittelten Vorschrift lässt sich dies hier auch ganz flott lösen

Marke A: 57,5 und Marke B: 42,5

Das sind die Anteile nach zwei Tagen, richtig. Gesucht waren aber die nach zwei Jahren !

18.04.2005, 17:53

Austi

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Hallo Arthur Dent!

Sehr gut aufgepasst!! Das hatte ich gar nicht gesehen! Habe statt Tagen Jahren geschrieben... Sorry!!

Aber habe das oben in der Aufgabenstellung wieder geändert!

Sag mal, ist das dann alles richtig (unter der Annahme, dass dort oben Tagen steht...) ???

MfG und Danke
Austi

18.04.2005, 17:58

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Na klar, sonst hätte ich ja nicht

Zitat:

Original von Arthur Dent
Das sind die Anteile nach zwei Tagen, richtig.

geschrieben. Freude

Für zwei Jahre kommt übrigens 60 / 40 raus, das entspricht der stationären Verteilung. Nun, nicht genau, aber auf etwa 200 Kommastellen genau. Big Laugh