Koeffizientenvergleich

01.11.2007, 11:55

powerflo

Koeffizientenvergleich

Hallo,
ich hab grad irgendwie ein Brett vor dem Kopf.
$\begin{eqnarray*} 1+2\sqrt{7} = p^{2}+q^{2}w+2pq\sqrt{w} \end{eqnarray*}$
daraus folgen die Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} p^{2}+q^{2}w=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2pq\sqrt{w} = 2\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

kann mir jemand ein Tipp geben wie man darauf kommt?

powerflo

01.11.2007, 11:59

20_Cent

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Das kommt wohl sehr darauf an, was diese einzelnen Variablen sind, und in welchem Körper/Vektorraum/o.ä. du dich bewegst.
mfG 20

02.11.2007, 16:14

powerflo

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Danke schonmal für deine Anwort 20_Cent.
Das ist im Zahlenkörper $\begin{eqnarray*} K_{1} \end{eqnarray*}$ der aus allen Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} p+q\sqrt{w} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p, q, w \in \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ gebildet wird.

powerflo

02.11.2007, 17:33

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Zitat:

Original von powerflo
$\begin{eqnarray*} p^{2}+q^{2}w=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2pq\sqrt{w} = 2\sqrt{7} \end{eqnarray*}$

In reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} p,q,w \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} w\geq 0 \end{eqnarray*}$ - geschweige denn rationalen Zahlen - ist dieses GLS nicht lösbar. Grund:

$\begin{eqnarray*} 0 > 1-2\sqrt{7} = p^2+q^2w-2pq\sqrt{w} = (p-q\sqrt{w})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ , Widerspruch.

02.11.2007, 18:22

powerflo

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@Arthur Dent: Jep das ist klar, bzw. das Ziel einen Widerspruch zu bekommen.
Aber ich will nur die Umformung (den Koeffizientenvergleich) verstehen.
Das Beispiel bei Wikipedia: Koeffizientenvergleich verstehe ich auch. Das was vor $\begin{eqnarray*} x^{1} \end{eqnarray*}$ steht ist gleich, und das was vor $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ steht ist gleich etc.
Aber was ist hier bei meinem Beispiel das x und was sind die Koeffizienten? Habe da keinen Durchblick obwohl ich die Lösung habe...
Es scheint in der Ausgangsgleichung nur Koeffizienten zu geben, da alles was dort vorkommt verglichen wird verwirrt

powerflo

02.11.2007, 21:12

powerflo

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Zitat:

Original von powerflo
Zahlen der Form $\begin{eqnarray*} p+q\sqrt{w} \end{eqnarray*}$

ich hab zwar lang gebraucht aber weiss jetzt wie man da drauf kommt:
$\begin{eqnarray*} \underbrace{1}_{p}+\underbrace{2\sqrt{7}}_{q\sqrt{w}}=\underbrace{p^{2}+q^{2}w}_{p}+\underbrace{2pq\sqrt{w}}_{q\sqrt{w}} \end{eqnarray*}$
Weiss zwar nicht ob das jetzt so korrekt aufgeschrieben ist aber für mich klingts jetzt logisch.

Danke für die Unterstützung smile

powerflo

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