Induktionsbeweis 2^k>k^2 (für k>4)

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Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis 2^k>k^2 (für k>4)
Hallo,

ich tue mich gerade schwer bei etwas scheinbar trivialem, weiß nicht so recht, wo es hakt. Es gilt mit vollst. Induktion zu beweisen:




IndAnfang: Klar.
IndSchluß, ich kürze etwas ab:
a) Dann darf man nach Voraussetzung schreiben, links wird ein Index rausgezogen:
b) So, und nun will man doch auf der rechten Seite irgendwie hinbekommen, um die Behauptung zu beweisen, oder? Nur sehe ich keinen Weg, wie ich das hinbekommen soll.

Meine Fragen:

1. Ist a) richtig hingeschrieben?
2 Ist b) der richtige Ansatz?

Vielleicht kann ja mal jemand eine Idee durchgeben, auf der ich aufbauen kann. Bei Induktion habe ich irgendwie ein Brett vorm Kopf.

Danke
Michael
20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde bei einer Ungleichung in der Induktion immer eine Ungleichungskette machen, um die Aussage für n+1 zu zeigen, also links anfangen und dann umformen. Den ersten Schritt hast du schon richtig gemacht, aber jetzt musst du abschätzen, also kleiner machen...
mfG 20
 
 
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_CentIch würde bei einer Ungleichung in der Induktion immer eine Ungleichungskette machen, um die Aussage für n+1 zu zeigen, also links anfangen und dann umformen. Den ersten Schritt hast du schon richtig gemacht, aber jetzt musst du abschätzen, also kleiner machen...

Ohh, damit (Ungleichungskette, abschätzen/kleiner machen) kann ich jetzt gar nichts anfangen. Was wo wie kleiner machen und abschätzen? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

20_Cent Auf diesen Beitrag antworten »

Ich fange mal an:



Was musst du jetzt hinschreiben bei ..., damit du danach das richtige Ergebnis da stehen hast?
Und warum darfst du so abschätzen, das musst du noch beweisen.
mfG 20

edit: so wie tmo es gesagt hat, gehts natürlich auch, da hast du auch nichts mehr zu zeigen, weils sofort offensichtlich ist (wegen n>=4...)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent
(wegen n>=4...)


Du meinst n > 4. Ansonsten würde es für n=4 kollidieren. smile
Aber gut, soll nur ne Nebenbemerkung sein.

air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

nein der induktionsschritt kollidiert für n = 4 nicht. denn in meiner ungleichungskette steht ja schon ein echt größer als.

aber die induktionsvorraussetzung (bzw. mehr der induktionsanfang) kollidiert für n = 4 Augenzwinkern
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von 20_Cent

Was musst du jetzt hinschreiben bei ...

OK, da muß natürlich ">n^2 +2n +1" stehen, jetzt langsam dämmert es mir auch, was mit Ungleichungskette gemeint ist ("a<b<c<d", also a<d).

Mal ne ganz doofe Frage: Muss man dann nicht beweisen, dass ist?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo Stimmt. smile
Aber dann passt es nicht direkt zur Aufgabe Augenzwinkern

air
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

aber wenn man großen wert drauflegt, dass der induktionsschritt für n = 4 nicht klappt, hängt man einfach ein hinten dran Augenzwinkern


@Wurstwasser: ja falls du diesem ansatz nachgehen willst, dann musst du dies noch zeigen.
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
@Wurstwasser: ja falls du diesem ansatz nachgehen willst, dann musst du dies noch zeigen.

Aber das Zeigen von wäre dann doch von der gleichen Komplexität wie das Zeigen der Ursprungsannahme, oder? Nur gilt dies schon für kleineren Index. Im Grunde müsste ich dafür ja wieder eine Induktion machen!?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

deswegen lege ich dir ans herz dir einfach mal meine idee anzusehen:

Zitat:
Original von tmo
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WurstwasserAber das Zeigen von wäre dann doch von der gleichen Komplexität wie das Zeigen der Ursprungsannahme, oder? Nur gilt dies schon für kleineren Index. Im Grunde müsste ich dafür ja wieder eine Induktion machen!?

Ich glaube meine Aussage war Quatsch, stimmts? Um die Ungleichung zu zeigen, muß man wohl einfach nur umformen. Nach ein paar Umformungen und binomischer Ergänzung habe ich da stehen:
und das gilt für den betrachteten Bereich n>4. Womit dann auch die Ungleichung von 20cent bewiesen wäre.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

jap so gehts auch Freude
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematik ist ein ewiger Kampf. Forum Kloppe
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Wurstwasser
Aber das Zeigen von wäre dann doch von der gleichen Komplexität wie das Zeigen der Ursprungsannahme, oder?


Nein. Es reicht ja sogar, zu zeigen. Aber das stimmt in deinem Fall, denn das gilt sogar für .



EDIT: OK, zu spät. Augenzwinkern
Wurstwasser Auf diesen Beitrag antworten »

Trotzdem danke. Man sieht manchmal den Wald vor lauter Bäumen nicht. Und dann komme ich nicht darauf, eine Ungleichung oder Gleichung einfach mal umzuformen und zu lösen. Eigentlich das natürlichste, was man machen würde.
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »



Woher nehmt ihr das +2 auf der rechten Seite??
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DerHochpunkt


Woher nehmt ihr das +2 auf der rechten Seite??


Naja, ich habe oben bewiesen, dass gilt für Also gilt erst recht Die 2 hatte ich nur aus kosmetischen Gründen dazugeschrieben.
DerHochpunkt Auf diesen Beitrag antworten »

das stört mich an der vollständigen induktion (die wir gerade in der mathe vorlesung dran hatten), dass man solange die relationszeichen richtig rum sind beliebig ergänzen kann, um auf eine lösung zu kommen.
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