Verteilungsfunktion

01.11.2007, 16:00

goe.alexander

Verteilungsfunktion

Ich hab seit kurzem wieder mal Stochastik und ich bräuchte etwas starthilfe.

Ich soll zeigen, dass die Verteilungsfunktion Fx stetig ist in x0 <=> Px(xo)=0.

Und ich soll weiter zeigen dass die menge aller unstetigen stellen abzählbar ist.

währe über hilfe sehr dankbar.
gruß alex

01.11.2007, 18:36

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Zitat:

Original von goe.alexander
Ich soll zeigen, dass die Verteilungsfunktion Fx stetig ist in x0 <=> Px(xo)=0.

Da solltest du dir selbst mal ein paar Gedanken machen, anhand der Definition der Verteilungsfunktion!

Zitat:

Original von goe.alexander
Und ich soll weiter zeigen dass die menge aller unstetigen stellen abzählbar ist.

Für eine Verteilungsfunktion gibt es wegen ihrer Monotonie sowie Beschränktheit (durch 0 nach unten und 1 nach oben) nur eine Art Unstetigkeitsstelle: Sprung um einen positiven Betrag.

Damit kann man z.B. die Menge aller Unstetigkeitsstellen so definieren:

$\begin{eqnarray*} U := \Big\{ x\in\mathbb{R} \Bigm| F(x+0)-F(x-0) > 0 \Big\} \end{eqnarray*}$

Nachzuweisen ist nun, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ höchstens abzählbar ist. Dazu ein Tipp: Betrachte Stellen mit gewissen Mindestsprunghöhen, z.B. so

$\begin{eqnarray*} U_n := \Big\{ x\in\mathbb{R} \Bigm| F(x+0)-F(x-0) \geq \frac{1}{n} \Big\} \end{eqnarray*}$ .

Dann fällt jede Unstetigkeitsstelle aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ in irgendein $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ , indem man nur $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ groß genug wählt. Mathematisch ausgedrückt heißt das $\begin{eqnarray*} U = \bigcup\limits_{n=1}^{\infty} U_n \end{eqnarray*}$ , also eine abzählbare Vereinigung.

Das letzte Puzzlestück, was jetzt noch fehlt, ist die Endlichkeit aller dieser $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ - und die kannst du dir anhand der Eigenschaften einer Verteilungsfunktion sowie der Definition der $\begin{eqnarray*} U_n \end{eqnarray*}$ selbst klarmachen.

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