C kein geordneter Körper

01.11.2007, 17:28

marci_

C kein geordneter Körper

mit dieser aufgabe kann ich leider nichts anfangen:

Zeigen Sie, dass es keine anordnung < auf $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ gibt, die sich mit der addition und der Multiplikation des körpers verträg, d.h. dass für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b,c \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ gilt:
hinweis: überlegen sie, was aus 0<i (bzw. i<0) folgen würde

$\begin{eqnarray*} a<b \Rightarrow a+c<b+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (0<a und 0<b) \Rightarrow 0<a*b \end{eqnarray*}$

wie gehe ich so etwas an?

danke!

01.11.2007, 17:32

therisen

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$\begin{eqnarray*} 0<i \end{eqnarray*}$ impliziert $\begin{eqnarray*} 0<i^2=-1 \end{eqnarray*}$

01.11.2007, 17:36

tmo

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nehmen wir mal es gäbe eine anordnung.

wegen $\begin{eqnarray*} i \neq 0 \end{eqnarray*}$ (eindeutigkeit des neutralen elements) folgt $\begin{eqnarray*} i > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} -i > 0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a>0 ~ und~ b>0 \Rightarrow a \cdot b > 0 \end{eqnarray*}$ ergibt sich dann ein widerspruch.

edit: zu langsam.

01.11.2007, 17:36

marci_

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ja oke, aber wie bring ich das in die aufgabe ein?

01.11.2007, 17:42

zweiundvierzig

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Aus den Ordnungsaxiomen folgt $\begin{eqnarray*} a^2 > 0 \end{eqnarray*}$ für jedes Körperelement $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Beziehe Dich darauf oder zeige es selbst, wenn das noch nicht in der VL kam.

01.11.2007, 18:57

marci_

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sorry, aber ich verstehe glaub ich nicht, was die aufgabe genau von mir will!

ist i größer als null?

kann mir bitte jemand die aufgabenstellung übersetzten, vllt. mit einem beispiel?

01.11.2007, 18:59

20_Cent

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In C gibt es keine Anordung, >, <, <=, >= ist sinnlos.
Nimm mal an, dass i>0 wäre. Dann kommst du zum Widerspruch. Genau so auch, wenn du annimmst, dass i<0 wäre. Und i=0 geht ja auch nicht. Also ist i weder kleiner noch größer noch = 0.
mfG 20

01.11.2007, 19:07

marci_

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okei, klingt logisch, also reicht der beweis von therisen eigentlich aus?

01.11.2007, 21:01

zweiundvierzig

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Mit einem Hinweis auf meine Begründung und gff. deren Beweis, ja.

01.11.2007, 23:30

marci_

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leider sagt mir ein ordnungsaxiom nichts...

01.11.2007, 23:39

tigerbine

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Die Axiome hattest Du doch am Anfang schon hingeschrieben: geord. Körper

01.11.2007, 23:42

marci_

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also bedeutet dies für die aufgabe:
ein geordneter körper schließt ungleichungen mit ein und somit a²>0
wenn ich dies bei den komplexen zahlen verwenden würde, würde stehen:
i²>0, i²=-1 und somit ist dies ein widerspruch!
es gibt somit keine anordnung auf den komplexen zahlen

02.11.2007, 18:04

zweiundvierzig

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Die Formulierung

Zitat:

Original von marci_
schließt ungleichungen mit ein

ist etwas unscharf. Die Erwähnung der Ordnung reicht bereits, obiges kannst Du also einfach weglassen. Ansonsten ist Deine Begründung okay. smile