7 kommt vor der 5

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CocaCola Auf diesen Beitrag antworten »
7 kommt vor der 5
Man würfelt wiederholt mit jeweils 2 fairen Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man das Ereignis die "Augensumme =7“ vor dem Ereignis "Augensumme = 5“ beobachtet?





Sei A = Möglichkeiten, dass Augenzahl 5 gewürfelt wird

(1,4) , (2,3) , (3,2) , (4,1) =4

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine 5 gewürfelt wird



Sei B = Möglichekeiten, dass die 7 gewürfelt wird

(1,6) , (2,5) , (3,4) , (4,3) , (5,2) , (6,1) = 6

Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine 7 gewürfelt wird



Die W'keit, dass keine 5 und keine 7 gewürfelt wird ist



Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim n-ten Wurf die 7 und niemals die 5 erhalten habe



bin mir bei der Aufgabe ziemlich unsicher...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deinen Bezeichnungen komme ich nicht klar. Da scheint mir ein ziemliches Durcheinander zu herrschen. Was das Ergebnis angeht, bist du aber auf dem richtigen Weg. Ich denke, es soll wohl einfach



als Modell für den einmaligen Doppelwurf heißen, ferner



woraus sich



und



ergeben (da sind einige Bezeichnungsunsicherheiten und ein paar Schreibfehler in deinem Beitrag). Die Wahrscheinlichkeit (da fehlt bei dir eine Klammer um den Bruch), daß man bei Würfen niemals die Augenzahl 5 und nur beim letzten Mal die Augenzahl 7 hat, stimmt. Und jetzt addiere diese Wahrscheinlichkeiten für (geometrische Reihe).

Eine alternative Argumentation, die den Beweis für die Formel der geometrischen Reihe nachempfindet, geht folgendermaßen:

Wir bezeichnen die gesuchte Wahrscheinlichkeit, also daß die Augenzahl 7 vor der Augenzahl 5 kommt, mit . Jetzt machen wir unseren ersten Doppelwurf und betrachten zwei Fälle:

1. Die Augenzahl ist 7 (Wahrscheinlichkeit ).

2. Die Augenzahl ist weder 7 noch 5 (Wahrscheinlichkeit ).

Der dritte Fall, nämlich die Augenzahl 5, interessiert uns nicht.
Der erste Fall ist für unser Ereignis günstig. Wir haben also



Bei den Pünktchen muß jetzt noch die Wahrscheinlichkeit dafür hin, daß beim ersten Wurf der zweite Fall eingetreten ist, bei den folgenden Würfen aber die Augenzahl 7 vor der Augenzahl 5 kommt. Das ist aber , denn beim zweiten Wurf steht man jetzt sozusagen wieder am Anfang. Und damit gilt



woraus du errechnen kannst.
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