Vollständige Induktion

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01.11.2007, 17:49	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Hey, ich soll durch vollst. Ind. beweisen, dass $\begin{eqnarray} a_n=\frac{2^{2n-3}}{3^{n-1}}~n\geq 2,n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ eine explizite Darstellung der rekursiv definierten Folge $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{3}\sum_{j=1}^n~a_j \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_1=2 \end{eqnarray}$ ist. Wie fang ich da am besten an? Ich hab bei der Aufgabe davor (gleiche Frage) einfach die explizite Darstellung in die rekursive Darstellung einsetzen können und dann kam ich auf $\begin{eqnarray} a_{n+1} \end{eqnarray}$ . Aber ich weiß nich, wo ich es hier einsetzen kann. Gebt mir mal bitte nen kleinen Denkanstoss ^^ €: habs editiert...
01.11.2007, 17:56	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
In deiner Summe stimmt was nicht, da braucht man ja a_n zur berechnung von a_n... mfG 20
01.11.2007, 18:04	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
so, jetzt
01.11.2007, 18:07	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon probiert, die explizite Darstellung in die Summe einzusetzen? ich würde vorher allerdings a_1 aus der Summe rausziehen, das kommt in der expliziten Darstellung ja nicht vor. mfG 20
01.11.2007, 18:13	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie kann ich des einsetzen? sorry, ich steh grad glaub aufm schlauch... €: kann ich des praktisch einsetzen und aus dem n ein j machen?
01.11.2007, 18:16	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{3}\sum_{j=2}^n~\frac{2^{2j-3}}{3^{j-1}} + \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ so, würde ich sagen. Jetzt musst du nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{2^{2(n+1)-3}}{3^{(n+1)-1}} \end{eqnarray}$ herauskommt, würde ich sagen.
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01.11.2007, 18:24	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann ich denn des Summenzeichen auflösen? bis jetzt hatte ich da immer n ansatz, aber der bleibt mir hier irgendwie verwährt...
01.11.2007, 18:27	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst Konstante aus der Summe rausziehen, bis du etwas der Form $\begin{eqnarray} \left(\frac{a}{b}\right)^j \end{eqnarray}$ da stehen hast. Dann kannst du die geometrische Summenformel anwenden. mfG 20
01.11.2007, 18:32	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
also einfach so lange die konstanten (a_2, a_3, ...) aus der Summe ziehen, bis der bruch raus kommt? na dann rechne ich mal...
01.11.2007, 18:35	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein! Nicht a_2, a_3 sondern aus der Summe Faktoren rausklammern, also davorschreiben. Nicht noch mehr einzelne Summanden dahinter tun... mFg 20
01.11.2007, 18:47	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt das dann soweit? $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{1}{3}\sum_{j=2}^n~\frac{2^{2j-3}}{3^{j-1}} +\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\sum_{j=2}^n~\left(\frac{4}{3}\right)^j+\frac{2}{3} \end{eqnarray}$
01.11.2007, 18:52	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, sieht gut aus. Jetzt kannst du die Formel anwenden. mfG 20 edit: du musst aber aufpassen, in der Formel gehts bei 0 los (oder 1, bin grad nicht ganz sicher...). mfG 20
01.11.2007, 18:54	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, geht bei null los, bin grad nämlich schon am überlegen, wie ich das dann anstellen kann... kann ich dann einfach den index umschreiben, also l=j-2 oder geht des irgendwie anders?
01.11.2007, 18:56	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde (4/3)^1 und (4/3)^0 addieren und subtrahieren, damit sich nichts ändert. Dann kannst du die addierten Terme in die Summe reinziehen. Beachte den Vorfaktor der Summe, den darfst du nicht vergessen. mfG 20
01.11.2007, 19:06	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
das ist natürlich auch ne gute idee, aber wie zieh ich die dann rein, die müsste ich doch dann mit 1/8 multiplizieren, oder? aber wie schreibt man des dann genau auf? sorry für meine unwissenheit, aber ich bin momentan noch auf kriegsfuss mit dem summenzeichen
01.11.2007, 19:08	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich mach mal den ersten Term vor (also für j=1): $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\sum_{j=2}^n~\left(\frac{4}{3}\right)^j+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\sum_{j=1}^n~\left(\frac{4}{3}\right)^j+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^1 \end{eqnarray}$
01.11.2007, 19:24	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \sum_{j=2}^n~\left(\frac{3}{4} \right) ^j + \frac{2}{3}= \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \sum_{j=0}^n~\left(\frac{3}{4} \right) ^j + \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \left( \frac{4}{3} \right) ^1 - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{8} \cdot \left( \frac{4}{3} \right) ^0 \end{eqnarray}$ so? €: oder muss ich aus der 0 am ende ne 2 machen?
01.11.2007, 20:03	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
push wär nett, wann da mal jemand drüber schauen könnte? Und ich muss des dann so umformen, dass $\begin{eqnarray} \frac{2^{2(n+1)-3}}{3^{(n+1)-1}} \end{eqnarray}$ rauskommt? €: muss ich das "+(2/3)" hinter der summe eig. auch mit 1/8 multiplizieren? ich bin mir nicht ganz sicher
02.11.2007, 00:15	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hasts schon richtig rausgezogen. Ne, das +2/3 musste nicht mit 1/8 multiplizieren. Du hast in der Summe plötzlich 3/4 statt 4/3 stehen, das ist aber nur ein Schreibfehler, oder? Jetzt kannste die geom. Summenformel anwenden. mfG 20
02.11.2007, 10:57	Spiggie	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, is n schreibfehler... habs rausbekommen, danke für die hilfe

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