Vollständige Induktion

01.11.2007, 19:48

Megas

Vollständige Induktion

Hi @ all!

Hab da n kleines Problem mit der Vollständigen Induktion, und zwar verstehe ich das Vorgehen nicht 100 %, die Aufgabe lautet wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~2^k = 2^{n+1} - 1 \end{eqnarray*}$
Induktionsanfang ist klar jedoch:

Es wird (n+1) in n eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1}~2^k = 2^{n+2} - 1 \end{eqnarray*}$

Und jetzt kommt ja der Induktionsschritt oder? d.h.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n}~2^k + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1 \end{eqnarray*}$

so jetzt weiß ich nicht genau wie ich letztendlich den Beweis erbringe, wird jetzt die link Seite umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} - 1 + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Komme hier nicht ganz weiter... würde mich bei Hilfe freuen.

01.11.2007, 19:54

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Megas
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} - 1 + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Genau richtig. Und was ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

01.11.2007, 19:58

Megas

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RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Megas
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} - 1 + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Genau richtig. Und was ist $\begin{eqnarray*} 2^{n+1} + 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Klar das ergibt

$\begin{eqnarray*} 2^{n+2} \end{eqnarray*}$

und das heisst ich schreib (also nach meinem letzten Schritt im ersten Beitrag)

$\begin{eqnarray*} 2^{n+2} - 1 \end{eqnarray*}$

und damit ist es bewiesen? Das war mir zu einfach ich dachte da muss noch irgendwas gemacht werden?!?

02.11.2007, 09:38

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion
Ja. Deine Frage zeigt mir, daß du das Prinzip der vollständigen Induktion nicht wirklich verstanden hast. Schaue dazu in deinen anderen Thread.

Zu diesem Thema gibt es hier auch einen Workshop:
[WS] Vollständige Induktion

02.11.2007, 18:47

Megas

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Ja hast wohl recht, schau mir grad nochmal alles an, danke für die Hilfe und den Link!

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