Vollst. Induktion bei Ungleichung+Fakultät

01.11.2007, 21:32

Megas

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Vollst. Induktion bei Ungleichung+Fakultät

Hi erstmal!

Also hab jetzt endlich mal einige Varianten der Vollständigen Induktion"durchgekriegt" und kriegs zum großteil auch hin jedoch muss ich jetzt etwas lösen bei dem ich absolut nicht weiterkomme:

$\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N , n > 3 \end{eqnarray*}$

Klar ist der Induktionsanfang:

$\begin{eqnarray*} 4! > 2^4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 24 > 16 \end{eqnarray*}$

Dann kommt die Induktionsvoraussetzung:
$\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$

Und nun beim Induktionsschritt hab ich Probleme, hab erstmal:

$\begin{eqnarray*} n! * (n+1) > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Doch nun weiß ich absolut nicht wie ich das weiter umforme um die linke Seite so aussehen zu lassen wie die rechte, wäre für jede Hilfe dankbar

01.11.2007, 21:38

tmo

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Es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n!(n+1) \geq 4n! \end{eqnarray*}$

jetzt noch die IV anwenden und du bist fast fertig.

01.11.2007, 21:48

Megas

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Zitat:

Original von tmo
Es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = n!(n+1) \geq 4n! \end{eqnarray*}$

jetzt noch die IV anwenden und du bist fast fertig.

Wie hast du das n+1 eingesetzt? Wenn ich das so einsetzen würde würde ich auf das hier kommen:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

01.11.2007, 21:52

tmo

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guck dir mal die vorraussetzung bzw die einschränkung für n an.

daraus folgt direkt die abschätzung, die ich gemacht habe.

und wenn du dann auf $\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ gekommen bist, dann bist du doch schon fertig, denn dies ist der induktionsschritt.

kannst du noch posten wie du nach 4n! weitergemacht hast, falls andere leute ein ähnliches oder sogar das selbe problem haben?

01.11.2007, 21:55

Megas

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Zitat:

Original von tmo
guck dir mal die vorraussetzung bzw die einschränkung für n an.

daraus folgt direkt die abschätzung, die ich gemacht habe.

und wenn du dann auf $\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$ gekommen bist, dann bist du doch schon fertig, denn dies ist der induktionsschritt.

kannst du noch posten wie du nach 4n! weitergemacht hast, falls andere leute ein ähnliches oder sogar das selbe problem haben?

Ne sorry hast mich falsch verstanden, bin da nicht draufgekommen, ich meine wenn ich von der Induktionsvoraussetzung

$\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$

ausgehe und dort dann n+1 einsetze, komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Ich weiß grad absolut nicht wie das gelöst werden kann, danke für die bisherige Hilfe

01.11.2007, 21:58

tmo

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ich hab dir doch schon einen ansatz gegeben.

allgemein musst du mit der linken seite anfangen und solange abschätzen und umformen bist du bei der rechten seite angekommen bist.

es ist

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! > 4n! \end{eqnarray*}$

die abschätzung gilt wegen n > 3 (dies wurde vorrausgesetzt).

jetzt wende mal die induktionsvorraussetzung auf 4n! an.

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01.11.2007, 22:01

Megas

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Meinst das so:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! > 4(n+1)! \end{eqnarray*}$

??

Und warum ist 2^n = 4n! ?

01.11.2007, 22:01

cf

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Vollst. Induktion bei Ungleichung+Fakultät
$\begin{eqnarray*} n!(n+1)=(n+1)!;<br /> 2^{n} (n + 1) = 2^{n}n+ 2^{n}>2^{n}n>2^{n}2=2^{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

01.11.2007, 22:11

Megas

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichung+Fakultät

Zitat:

Original von cf
$\begin{eqnarray*} n!(n+1)=(n+1)!;<br /> 2^{n} (n + 1) = 2^{n}n+ 2^{n}>2^{n}n>2^{n}2=2^{n+1}<br /> \end{eqnarray*}$

Tut mir leid aber ich verstehe das leider nicht, bin euch sehr dankbar für eure Mühen aber ich kom einfach nicht darauf wie das gelöst worden ist traurig

traurig

01.11.2007, 22:17

tmo

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Zitat:

Original von Megas
Meinst das so:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! > 4(n+1)! \end{eqnarray*}$

??

Und warum ist 2^n = 4n! ?

ich weiß jetzt nicht wie ich diesen beitrag werten soll.

ich meine es eigentlich meistens genau so wie ich es schreibe und das habe ich definitiv nicht geschrieben.

und genauso hat niemand behauptet, dass $\begin{eqnarray*} 2^n = 4n! \end{eqnarray*}$ gelte.

nochmal von vorne:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1)n! \end{eqnarray*}$
das solte klar sein.
so nun ist $\begin{eqnarray*} n>3 \end{eqnarray*}$ vorrausgesetzt worden woraus $\begin{eqnarray*} (n+1)>4 \end{eqnarray*}$ folgt.
daraus folgt dann $\begin{eqnarray*} (n+1)n! > 4n! \end{eqnarray*}$ (einfach die ungleichung mit n! multipliziert).
nun multiplizierst du mal die IV: $\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$ mit 4

01.11.2007, 22:17

cf

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RE: Vollst. Induktion bei Ungleichung+Fakultät
das <br/> musst du dir wegdenken;
es werden einfach beide Seiten mit (n+1) multipliziert

01.11.2007, 23:20

Megas

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Tut mir leid leutz ist heut einfach nicht mein Tag, war die letzten Tage krank und musst heut das alles nachholen, saß deshalb mehr als 5 Stunden dran und bin total fertig.

Dank Euch jedenfalls vielmals für Eure Hilfe, schau mir das morgen nochmal in Ruhe an, bringt heute wirklich nichts mehr!

So far,

GreeTz

02.11.2007, 09:34

klarsoweit

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Vielleicht solltest du dich mal zurücklehnen und dir erstmal Gedanken über das Prinzip der vollständigen Induktion machen.

In diesem Fall geht es darum, eine Aussage A(n) für alle n >= 4 zu beweisen. Diese lautet:

$\begin{eqnarray*} A(n): n! > 2^n \end{eqnarray*}$

Beim Induktionsschritt wird die Gültigkeit der Aussage A(n) für ein beliebiges aber festes n angenommen und es muß gezeigt werden, daß dann auch A(n+1) gilt. Also schreibt man mal A(n+1) hin:

$\begin{eqnarray*} A(n+1): (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

So, da wollen wir also hin. Jetzt nehmen wir uns mal davon die linke Seite her und formen die um:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1) \cdot n! \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle bemerken wir, daß n+1 ganz gewiß >= 2 ist. Wenn wir also statt n+1 eine 2 hinschreiben, dann wird der Term auf der rechten Seite kleiner bzw. in keinem Fall größer. Also schreiben wir:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! = (n+1) \cdot n! \geq 2 \cdot n! \end{eqnarray*}$

Jetzt erinnern wir uns, daß laut Induktionsvoraussetzung das n! größer als 2^n ist. Wir ersetzen also nun auf der rechten Seite das n! durch 2^n und diese wird dadurch wiederum kleiner bzw. in keinem Fall größer. Wie das dann ausschaut, solltest du nun hinschreiben.

02.11.2007, 18:57

Megas

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Ok hatte gestern wirklich Probleme noch klare Gedanken zu fassen Leute sorry fürn Stress, also heut nochmal Augenzwinkern

Augenzwinkern

IA ist klar,

IS:

$\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Es gilt: (n+1)! = (n+1) * n! \end{eqnarray*}$

also da n > 3 => (n+1) > 3 =>

$\begin{eqnarray*} n! > 2^n | * (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n! * (n+1) > 2^n * (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^n * (n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^nn + 2^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^n * 2 \end{eqnarray*}$

das ergibt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
q.e.d.

Soweit richtig? Hoffe mal ich hab nicht wieder was falsch gemacht Big Laugh

Big Laugh

15.05.2012, 10:52

Hilfloser4

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ist dieser beweis so richtig? darf man die IV einfach im ersten schritt des IS so benutzen?

15.05.2012, 11:47

klarsoweit

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Hier wurde im IS die IV verwendet:

Zitat:

Original von Megas
IS:

$\begin{eqnarray*} n! > 2^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (n+1)! > 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Man nimmt die IV und formt solange um, bis man die im IS zu zeigende Ungleichung erhält. Ein völlig einwandfreies Vorgehen. smile

smile

15.05.2012, 11:50

Hilfloser4

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ok danke

smile

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