Kreisteilungsgleichung

01.11.2007, 22:30	nomeus	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisteilungsgleichung Hi, die Kreisteilungsgleichung besagt ja "z ^n = 1" besitzt für z Element C n-mögliche Lösungen. Aber wie schaut das aus, wenn z^n = -1 ist? Ich würde behaupten, dass die Lösungen die gleichen sind, aber ich weiß nicht wie ich zeigen soll, dass das das gleiche ist ... [ Hintergrund ist die Aufgabe: Bestimmen sie alle z e C mit z^6 = -1 ]
01.11.2007, 22:32	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
also die gleichen lösungen sind es definitiv nicht, denn betrachte doch mal die einfachen fälle n = 1 und n = 2
01.11.2007, 22:34	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Formeleditor und Nullstellen Die Frage, nach der Anzahl der Lösungen, sollte Dir bei der Formulierung des Problems in der Form $\begin{eqnarray} z^6+1=0 \end{eqnarray}$ klar sein. Ihre Bestimmung ist wieder eine andere Geschichte.
01.11.2007, 22:43	nomeus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ehrlich gesagt hilft mir das beides nicht weiter...
01.11.2007, 22:46	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso? tmo hat deine erste Theorie widerlegt. Sprich die die Wurzeln von -1 und 1 sind i.A. verschieden. Dazu solltest Du für n einmal die Werte 1 und 2 einsetzen. Ich wollte dir nur den Tipp geben, dass Du bei deiner konkreten Aufgabe, n=6, nach 6 Lösungen suchen musst. Aber beginne doch ersteinmal mit dem was tmo vorgeschlagen hat und komm zur "Einsicht".
01.11.2007, 23:09	nomeus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, dass das nicht das gleiche ist habe ich inzwischen schon eingesehen Und das es trotzdem 6 Lösungen bleiben habe ich schon fast vermutet. ( Das wollte ich oben auch eigentlich sagen ). Aber wie ich jetzt an die richtigen Lösungen komme weiß ich immer noch nicht. Denn die "normale" Formel $\begin{eqnarray} \epsilon_{k} = \cos (\frac{k}{n}2\pi)+i \sin (\frac{k}{n}2\pi) \end{eqnarray}$ mit k = 0,1,2,...,n-1. kann ich ja an der Stelle nicht mehr anwenden, oder?
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01.11.2007, 23:35	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum nicht. Betrachten wir es einmal in Polarkoordinaten. Wir benötigen eine Länge und einen Winkel. Die Länge ist $\begin{eqnarray} r:=\sqrt[6]{\|-1\|} = 1 \end{eqnarray}$ d.h. die Lösungen liegen alle auf dem Einheitskreis. Der Winkel der Potenz $\begin{eqnarray} z^6=-1 \end{eqnarray}$ beträgt $\begin{eqnarray} \varphi = 180^{\circ} = \pi \end{eqnarray}$ Nun müssen wir nur noch die Winkel bestimmen, für die gilt: $\begin{eqnarray} \hat \varphi_n = \pi \end{eqnarray}$ Es ergibt sich damit: $\begin{eqnarray} \hat \varphi_1 = 30^{\circ} = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray}$ Mit der Periodizität ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \hat \varphi_2 = 90^{\circ} = \frac{3\pi}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \hat \varphi_3 = 150^{\circ} = \frac{5\pi}{6} \end{eqnarray}$ etc.

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