Binomialkoeffizient Induktionsbeweis

Neue Frage »

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
Binomialkoeffizient Induktionsbeweis
Ich soll per vollständige Induktion folgende Formel zeigen:




Mein Ansatz dazu, ich habe nur entweder einen Fehler darin oder komme nicht weiter:

Beh.:

IA:

IH: gilt für ein

IS:



nach Funktionalgleichung





nach IH










hier weiß ich nicht, wie ich weiter machen soll...

am Ende sollte dann wohl so etwas dastehen wie





Vielleicht kann mir jemand weiterhelfen?
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient Induktionsbeweis
Zitat:
Original von mathestudi



nach Funktionalgleichung


Hier passiert der Fehler. Für k=n+1 ist der zweite Binomialkoeffizient nicht definiert. Das fällt dir nicht auf, weil du in deiner späteren Rechnung rechnest. Richtig wäre aber . Das ist aber wiederum nicht definiert Augenzwinkern

Teile im oben zitierten Schritt erst die Summe auf und wende dann das Rechengesetz für den Binomialkoeffizient an.

Vor ein paar Tagen ging es übrigens schonmal um diese Aufgabe: summenformel beweisen
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Binomialkoeffizient Induktionsbeweis
Zitat:
Original von Calvin
Zitat:
Original von mathestudi



nach Funktionalgleichung


Hier passiert der Fehler. Für k=n+1 ist der zweite Binomialkoeffizient nicht definiert. Das fällt dir nicht auf, weil du in deiner späteren Rechnung rechnest. Richtig wäre aber . Das ist aber wiederum nicht definiert Augenzwinkern


ups. rechenfehler...

Zitat:

Teile im oben zitierten Schritt erst die Summe auf und wende dann das Rechengesetz für den Binomialkoeffizient an.


werde ich gleich mal versuchen. danke!

Zitat:

Vor ein paar Tagen ging es übrigens schonmal um diese Aufgabe: summenformel beweisen


ich hatte gesucht, aber nichts zu meiner aufgabe gefunden. in deinem link wird aber der binomische lehrsatz zum lösen der aufgabe verwendet. den hatten wir aber noch nicht in der vorlesung - folglich darf ich ihn auch leider nicht anwenden.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

ok, meinst du das dann so?

ich schreibe den IS nochmal komplett überarbeitet hin:

IS:









nach IH:


damit ist aber die erste summe nicht definiert. wo liegt denn jetzt schon wieder mein fehler?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler gefunden. Hab 0 statt n geschrieben.

Also nochmal verbessert:

IS:









nach IH:


aber was mache ich jetzt mit der übrigens summe??
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin noch ein stückchen weiter, keine ahnung, ob das hilft oder ob ich mich im kreis drehe.

IS:





nach Funktionalgleichung:



nach IH:

nach Funktionalgleichung:



nach IH:





wie mache ich jetzt weiter??
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathestudi


...
(längere Rechnung)
...



Da hast du dich im Kreis gedreht. Denn daß diese Terme gleich sind, sieht man auf Anhieb. Rechne so:





Auf die rechte Summe kannst du jetzt die Induktionsvoraussetzung anwenden. Bei der linken Summe machst du eine Indexverschiebung mittels der Substitution k = j+1.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

danke, so hats funktioniert!! Wink
ekleedhor Auf diesen Beitrag antworten »

Könntet ihr mir mal bitte zeigen wie das mit der Indexverschiebung dann weiter geht.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

. Die muss dann halt noch zur Summe hinzugefügt werden.

Allgemein sieht man an dieser Aufgabe wieder leicht das es sinnvoller ist Summen zu betrachten und die Binomialkoeffizienten dort wo sie nicht definiert sind eben als 0 zu definieren. Dann lässt sich der Beweis ohne lästiges aufteilen der Summe führen.
ekleedhor Auf diesen Beitrag antworten »

vielen Dank, jetzt ist alles klar. smile
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »