Gemischte Fragen zu Grundlagen

02.11.2007, 05:39

pygospa

Gemischte Fragen zu Grundlagen

Hallo,
ich habe neulich ein paar Grundlagen aufgearbeitet, und habe nun ein paar Verständnisfragen - ich denke/hoffe, dass ist hier am besten Aufgehoben:

1.) Häufungspunkte:
* Sind in der Menge der reellen Zahlen alle Punkte Häufungspunkte?
* Und umgekehrt: In der Menge der natürlichen Zahlen können keine Häufungspukte vorkommen?
* Sinn macht diese Definition wahrscheinlich nur in Anwendungsgebieten wie der Wahrscheinlichkeitsrechnung?

2.) Schranken:
* Kann eine Teilmenge der natürlichen Zahlen nur Schranken, aber kein Supremum und Infinum haben?
* Im Gegensatz dazu gibt es in Teilmengen der reellen Zahlen sowohl schranken als auch Supremum und Infinum?

[Wenn alle diese Fragen von mir mit Ja beantwortet werden, dann hab ich die Definitionen bis hierhin verstanden Augenzwinkern

]

3.) Abzählbarkeit:
Laut meiner Definition ist eine Menge Unendlich, wenn es zwischen ihr und einer echten Teilmenge eine 1-1 Zuordnung gibt. Wie ist das zu verstehen?
Als beispiel wird die Menge der geraden Zahlen als Teilmenge der Natürlichen Zahlen genommen. Ja, da gibt es sicherlich eine 1-1 Zuordnung. Die Menge {1...10} ist aber auch echte Teilmenge von |N. Heißt 1-1 nicht in beide Richtungen? Also ist |N damit auf einmal nicht mehr unendlich?

Zu Abzählbar wird gesagt, dass die rationalen Zahlen abzählbar sind, die irrationalen/reellen Zahlen aber nicht. Wieso ist dies so? Ich hatte Abzählbarkeit immer so verstanden, dass zwischen zwei Elementen keine weiteren Elemente liegen - wäre bei den natürlichen Zahlen der Fall, zwischen zwei rationalen Zahlen liegen doch aber immer weitere rationale Zahlen?

Einen großen Dank im Vorraus!

02.11.2007, 10:11

Leopold

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1.1.
Ja (wenn man die euklidische Topologie auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ voraussetzt, auch im folgenden).

1.2.
Richtig, keine Häufungspunkte.

1.3.
Der Problemkreis gehört zur Topologie. Die ist selber ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik und hat Relevanz für viele andere Gebiete, nicht nur die Wahrscheinlichkeitslehre.

2.1.
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt ein Supremum, also gilt das auch für nach oben beschränkte Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Infimum entsprechend.

2.2.
vgl. 2.1.

3.1.
1-1-Zuordnung meint eineindeutige, d.h. bijektive Zuordnung. Zwischen der Menge der Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,2,...,10 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt es in der Tat keine bijektive Zuordnung. In der Formulierung heißt es aber "... zwischen ihr und einer echten Teilmenge ...". Diese etwas lasche Formulierung meint ausführlicher, "daß eine echte Teilmenge existiert, so daß zwischen ihr und der gesamten Menge eine bijektive Zuordnung besteht".

3.2.
Kann das sein, daß du abzählbar mit dicht verwechselst?

02.11.2007, 13:31

pygospa

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Zitat:

Original von Leopold
1.3.
Der Problemkreis gehört zur Topologie. Die ist selber ein wichtiges Teilgebiet der Mathematik und hat Relevanz für viele andere Gebiete, nicht nur die Wahrscheinlichkeitslehre.

Gut, den Begriff hab ich vorher noch nie gehört... Hab mal ein wenig gegooglet - hört sich ja sehr komplex an, dass ganze Augenzwinkern

Zitat:

2.1.
Jede nach oben beschränkte Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ besitzt ein Supremum, also gilt das auch für nach oben beschränkte Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Infimum entsprechend.

Hm, laut meiner Definition, die ich hier Vorliegen habe, heißt es: Ist M eine Zahl, die von keinem Element der Menge übertroffen wird, und wenn zu jedem e>0 mindestens ein Element existiert, welches größer ist, als M-e, dann heißt M das Supremum der Menge.

Nehmen wir jetzt an, ich habe eine Menge A, die Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist, und für deren Elemnte x gilt: A = {x | x>0 und x<7}.

Dann wäre doch M = 6 (größtes Element). Wenn ich jetzt e=6 setzte, dann gibt es keine Zahl y aus A, für die gilt M-e<y, oder? Fazit: Kein Supremum. Daher habe ich darauf geschlossen, dass es für alle Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Denn anders, wenn die Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wäre. Dann hätte ich hier noch das Element 0,1, usw.

Wenn Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ also Supremi und Infini (der Plural der Wörter?) besitzen, kannst Du mir dann erklären, was an meinen Überlegungen falsch ist?

Zitat:

Diese etwas lasche Formulierung meint ausführlicher, "daß eine echte Teilmenge existiert, so daß zwischen ihr und der gesamten Menge eine bijektive Zuordnung besteht".

Also falls irgend eine Teilmenge existiert - auch wenn mehrere Existieren, bei denen das nicht der Fall ist..., richtig?

Zitat:

3.2.
Kann das sein, daß du abzählbar mit dicht verwechselst?

Ja, dem war so. Allerdings sehe ich zwischen Abzählbarkeit und Dichte irgendwie immernoch einen Zusammenhang, und werde auch aus den Wikipedia-Artikeln immernoch nicht schlauer unglücklich

Zitat:

Original aus Wikipedia
Eine Menge ist also genau dann überabzählbar, wenn ihre Mächtigkeit (Anzahl ihrer Elemente) größer ist als die der Menge der natürlichen Zahlen.

Weiterhin heißt es aber, dass die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ nicht abzählbar ist (klar, die Kardinalität ist größer als bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , denn obwohl beide unendlich sind, hat $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ doch zwischen 2 Zahlen wieder unendlich Zahlen, was bei $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ nicht der fall ist), die menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ aber sei abzählbar!?
Wie kann das sein? Die Kardinalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist doch ebenfalls größer als die von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2007, 17:21

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von pygospa
Die Kardinalität von $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ ist doch ebenfalls größer als die von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ?

Nein. Tatsächlich gibt es zwischen beiden Mengen eine Bijektion: Cantors erstes Diagonalverfahren

Edit: Eine interessante Folgerung ist z.B. $\begin{eqnarray*} |\mathbb Q| < |\{x \in \mathbb R : 0 \leq x \leq 1\}| \end{eqnarray*}$ .

Edit 2: Natürlich erst mittels des zweiten Diagonalarguments. smile

02.11.2007, 18:40

pygospa

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Nein. Tatsächlich gibt es zwischen beiden Mengen eine Bijektion: Cantors erstes Diagonalverfahren

Okey, schwere Geburt, aber ich glaube, jetzt hab ichs *gg*. Diese Besondere Anordnung der Zahlen sorgt dafür, dass zwischen den einzelnen Zahlen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ keine weiteren Zahlen liegen --> es wird abzählbar. smile

Richtig?

Danke für diesen Augenöffner smile

Jetzt fehlt nur noch die Supremum/Infinum-Geschichte, dann kann ich weiter lernen smile

02.11.2007, 18:45

Leopold

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Zitat:

Original von pygospa
Hm, laut meiner Definition, die ich hier Vorliegen habe, heißt es: Ist M eine Zahl, die von keinem Element der Menge übertroffen wird, und wenn zu jedem e>0 mindestens ein Element existiert, welches größer ist, als M-e, dann heißt M das Supremum der Menge.

Nehmen wir jetzt an, ich habe eine Menge A, die Teilmenge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist, und für deren Elemnte x gilt: A = {x | x>0 und x<7}.

Dann wäre doch M = 6 (größtes Element). Wenn ich jetzt e=6 setzte, dann gibt es keine Zahl y aus A, für die gilt M-e<y, oder? Fazit: Kein Supremum. Daher habe ich darauf geschlossen, dass es für alle Teilmengen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Sogar für alle $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ gälte doch dann $\begin{eqnarray*} M - \varepsilon < y \end{eqnarray*}$

02.11.2007, 20:39

pygospa

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Zitat:

Original von Leopold
Sogar für alle $\begin{eqnarray*} y \in A \end{eqnarray*}$ gälte doch dann $\begin{eqnarray*} M - \varepsilon < y \end{eqnarray*}$

Okey, ich merk grade, dass das ziemlich doof war - ein Denkfehler, sorry...

Und da $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ nicht 0 sein darf, und y aber sicherlich gleich M, also in dem Fall 6 sein darf, ist die Gleichung immer gültig. Verstehe.

Gut, dann hab ich aber doch noch eine Frage (sorry, wenn ich da jetzt so drauf herum reite, aber ich will wirklich sicher sein es verstanden zu haben):
Was wäre denn dann ein Beispiel, in dem es nur Schranken, aber keine Supremi und Infini gäbe?

@zweiundvierzig:
Danke für die Hinweise auf die Dialogverfahren smile

Der erste war einfach zu verstehen, den zweiten habe ich in der deutschen Wikipedia garnicht verstanden - da hat mir dann die englische Wikipedia weitergeholfen - es geht also im Prinzip darum dass Zahlen konstruiert werden können, welche (bewiesen durch ihre besondere Art der konstruktion) noch nicht vorhanden sind. Und wenn man dass dann weiter führt, kommt man über jede neue Zahl auf eine weitere konstruierbare Zahl, also unendlich viele. Und das alleine Zwischen 0 und 1 - es ist also Überabzählbar und daher ist die Kardinalzahl größer als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , welches nur abzählbar ist.

Mensch, wenn das jetzt alles richtig ist, dann hab ich das ja verstanden! Vielen Dank! Echt super Hilfe hier! Freude

03.11.2007, 00:07

zweiundvierzig

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Hi,
schön, dass wir Dein Interesse weiter vorangetrieben haben. smile

Zitat:

Original von pygospa
[Was wäre denn dann ein Beispiel, in dem es nur Schranken, aber keine Supremi und Infini gäbe?

Betrachte $\begin{eqnarray*} \{x \in \mathbb Q : x^2 < 2\} \subset \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Btw: Die Begriffe sind lateinischer Abstammung. smile

Zitat:

Original von pygospa
es geht also im Prinzip darum dass Zahlen konstruiert werden können, welche (bewiesen durch ihre besondere Art der konstruktion) noch nicht vorhanden sind.

Die Frage, ob etwas konstruiert oder entdeckt wird, ist eher von erkenntnistheoretischer Bedeutung.

03.11.2007, 00:11

Leopold

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Zitat:

Original von pygospa
Was wäre denn dann ein Beispiel, in dem es nur Schranken, aber keine Supremi und Infini gäbe?

Du bist offenbar kein Lateiner, denn es heißt das Infimum (sg.) und die Infima (pl.), genauso wie Maximum/Maxima, Praktikum/Praktika, auch wenn noch so viele Leute Praktika/Praktikas sagen ... (mir zieht's da die Socken aus!)

Jetzt zum Inhaltlichen. In $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ geht so etwas nicht, das ist gerade der Inhalt des Vollständigkeitsaxioms. Wenn du aber den Bereich $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ betrachtest, so gibt es in der Tat beschränkte Mengen, die kein Infimum oder Supremum in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ besitzen. Deshalb ist auch $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ nicht vollständig, obwohl es dicht ist.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ x \in \mathbb{Q} \, \left| \, x^2 < 2 \right. \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist beschränkt, z.B. nach unten durch $\begin{eqnarray*} -311,2007 \end{eqnarray*}$ und nach oben durch $\begin{eqnarray*} 3,112007 \end{eqnarray*}$ . Aber $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besitzt weder Infimum noch Supremum, wohlgemerkt: in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ .

Gerade sehe ich, daß zweiundvierzig schon geantwortet hat. Da ich aber schon alles geschrieben habe, sende ich es jetzt auch ab.

03.11.2007, 01:06

pygospa

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Vielen Dank euch beiden, für die Zeit (und Geduld mit mir smile

)! Das hat mir echt sehr weitergeholfen!

Bin echt froh, dass ich dieses Board gefunden habe smile

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