Koordinatengleichung einer Ebene (mit vier Punkten)

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13.04.2005, 20:05	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Koordinatengleichung einer Ebene (mit vier Punkten) Hallo! Ich habe hier vier Punkte: A (3/0/0), B (0/2/0), C (3/0/3) und D (0/2/3) Nun soll ich damit eine Koordinatengleichung für die Ebene aufstellen. Ich hatte das Ganze auch schon mit nur drei Punkten wo immer jede Ebene berührt/geschnitten wurde - nur bei diesem Viereck wird die z-Ebene nicht geschnitten. Naja, also habe ich eben meine Gleichung mal aufgestellt: $\begin{eqnarray} E: \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s* \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} + t* \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So, nun hätte ich ja sozusagen einen Parameter mehr als sonst mit nur drei Punkten. Theoretisch könnte ich ja nun mal einen Punkt, z.B. D, außen vor lassen, da ich ja auch so meine Ebene aufgespannt bekomme. Wenn ich das dann aber mache und die Gleichungen für x, y und z aufstelle und dann s-Eliminierung und r-Eliminierung mache, erhalte ich: $\begin{eqnarray} 2x + 3y - 2z = 6 \end{eqnarray*}$ Das stimmt zwar für die Punkte A und B, aber nicht für den Punkt C. Also wie man hier nun genau vorgeht, wenn die Ebene die aufgespannt ist, parallel zu einer oder mehreren Achsen ist bzw. sie nicht schneidet, ist mir noch nicht so ganz klar. Wenn sie schneidet geht das immer schön auf und auch die Probe mit allen (drei) Punkten stimmt dann immer in der Koordinatengleichung die ich rausbekommen habe. Nur bei dieser Ebene aus vier Punkten, die eben die z-Achse nicht schneidet/berührt haut das nicht hin. Wäre super, wenn mir das kurz einer erläutern/erklären könnte, wie ich da vorgehen muss und mir das vorzustellen habe. Danke im Voraus.
13.04.2005, 21:22	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Koordinatengleichung einer Ebene (mit vier Punkten) mir ist zwar nicht ganz klar, was das sein soll, was du mit E bezeichnest. eine ebene ist es sicher nicht! aber zu deinem problem: schau dir mal die punkte A und C an, möglicherweise hast du dann ein problem weniger werner alias w2w
13.04.2005, 22:04	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, naja ok...da müsste dann noch ein "x" mit Vektorpfeil oben drauf davor und dann = usw. Aber ansonsten ist das doch eine Ebenengleichung, die hat eben nun 3 Parameter. Also eben einen Stützvektor und 3 Richtungsvektoren, da ich ja vier Punkte angegeben habe. Die allg. Ebenengleichung ist ja: $\begin{eqnarray} E: \vec {x} = (A)+r(\vec{AB}) +s(\vec{AC} ) \end{eqnarray}$ Ich habe jetzt eben noch einen Richtungsvektor dabei.. Naja die Punkte A und C...hm was kann ich da denn sehen? Die liegen genau übereinander...also gleiche x-Koordinate, nämlich 3. Die Punkte B und D liegen auch genau übereinander...also gleiche y-Koordinate, nämlich 2. Das Ganze ist ja auch ein Viereck, also ich hab' hier ja 'ne Skizze, aber das ist ja auch schnell (ein-)gezeichnet. Aber so wirklich weiter bin ich jetzt mit meinem Problem irgendwie noch nicht...trotzdem danke.
13.04.2005, 22:43	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sehe wirklich ganz schlecht, aber: A = C, die liegen nicht nur "übereinander"(?????), die sind gleich! das heißt du hast eh nur 3 punkte w2w und mit den DREI punkten A(3/0/3) = C, B(0/2/0) und D(0/2/3) heißt deine ebene $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\0 \\ 3\end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bitte nachrechnen w2w
13.04.2005, 22:50	kikira	Auf diesen Beitrag antworten »
Außerdem braucht man für eine Ebenengleichung lediglich 3 Punkte. Wenn man 4 hat, ist's nett, aber unnötig. Die Ebenengleichung lautet IMMER: E: X = Punkt + t * 1. Richtungsvektor + u * 2. Richtungsvektor Und die Ebenengleichung ist bloß dazu da, dass du dir jeden beliebigen Punkt X(x/y/z) der Ebene berechnen kannst. Das heißt, du könntest dir jetzt 20384972039482309482309 Punkte berechnen, und DENNOCH WIRD DIE EBENE NUR MIT 3 Punkten aufgestellt. Denn das reicht, damit sie eine fixe Lage im Koordinatensystem hat. Wenn der Flächeninhalt eines Rechtecks: A = a * b ist, dann ist es ja auch unnötig, sollte der Umfang gegeben sein, dass du den noch in die Flächenformel mit ein baust, nur damit du alles, was gegeben ist, verwerten kannst. Das minimalste, das ausreicht, um etwas zeichnen zu können, reicht auch für die Aufstellung der Gleichung. lg kiki
13.04.2005, 23:00	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, @wernerin: Ja, ich habe mich tatsächlich vertippt...der Punkt A hat diese Koordinaten: (3/0/0) - liegt also direkt auf der x-Achse und Punkt C eben darüber. - - - @kikira: Genau, das habe ich mir ja auch so gedacht und das Ganze eben einfach nur mit A, B und C gemacht. Dann eben die Gleichungen für x, y und z aufgestellt und die Parameter t und u bzw. bei mir r und s eliminiert und habe dann die Koordinatengleichung erhalten. Nur funktioniert die Probe für den Punkt C dann nicht (s. 1. Posting).
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13.04.2005, 23:16	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
da hilft halt nur üben, mit den neuen alten richtigen punkten hast du $\begin{eqnarray} \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +r\begin{pmatrix} -3\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} +s\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\3 \end{pmatrix} \Rightarrow \vec{n} =\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die ebene: 2x + 3y - 6 = 0 und ich überlasse es dir, dich davon zu überzeugen, dass D(0/2/3) ein element der ebene ist w2w
13.04.2005, 23:26	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja alles klar. Also ich habe dann diese Ebenengleichung - soweit klar. Dann die Eliminierung der Parameter, wo ich vorher die Gleichungen habe: x = 3 - 3r y = 2r z = 3s Dann nehme ich die Gleichungen von x und y und erweitere die x-Gleichung mit 2 und die y-Gleichung mit 3 und addiere sie, dann erhalte ich eben die: 2x + 3y = 6 Dann stimmen soweit auch die Punkte...ja. Darf ich hier dann also das z=3s im Prinzip außer Acht lassen? Hier kann bzw. könnte ich es ja so und so nicht eliminieren, da ich kein s ansonsten habe.. Dankeschön übrigens!
13.04.2005, 23:54	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
z = 3s außer 8 lassen, sagen wir halt, das ist immer erfüllt ich gehe nicht über das lineare gls an dieses problem sondern mit der normalvektorform der ebene (bei den termini bin ich mir nicht sicher) $\begin{eqnarray} (\vec{x} -\vec{a} )\cdot \vec{n} =0 \end{eqnarray}$ und den normalvektor erhält man mit dem ex-produkt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\0\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ w2w
14.04.2005, 16:43	SkYfiGhTeR	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, jep alles klar. Vielen Dank für die Hilfe!

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