summenzeichen-Aufgabe ²

02.11.2007, 11:59

jörgen

summenzeichen-Aufgabe ²

hab hier folgende aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{150}~(k+4)^3 - \sum_{i=5}^{20}~(k-1)^3 \end{eqnarray*}$

wenn gilt: $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}~(i)^3 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2 \end{eqnarray*}$

ich verschiebe den index damit ich im laufindex nur noch eine variable habe:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=4}^{154}~(k)^3 - \sum_{i=4}^{19}~(k)^3 \end{eqnarray*}$

was ich aber jetzt machen muss um die aufgabe "human" berechnen zu können weis ich nicht. was soll mir diese "wenn gilt" regel sagen? ich steh aufm schlauch.....

hilfe verwirrt

02.11.2007, 12:28

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Ich nehme mal an, deine Summen laufen alle über Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ statt wie von dir angegeben über $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ...

Es ist doch ganz einfach: Ist $\begin{eqnarray*} S(n) = \sum_{k=1}^n k^3 \end{eqnarray*}$ , dann gilt für beliebige Summationsgrenzen $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1\leq a \leq b \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b k^3 = \sum_{k=1}^b k^3 ~ - ~ \sum_{k=1}^{a-1} k^3 = S(b)-S(a-1) \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 13:53

jörgen

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ja genau, k statt i. sry.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{150}~(k+4)^3 - \sum_{k=5}^{20}~(k-1)^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{154}~(k)^3 - \sum_{k=4}^{19}~(k)^3 \end{eqnarray*}$

d.h da kommt dann das hier herraus:?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=19}^{154}~k^3 \end{eqnarray*}$

is das richtig?

03.11.2007, 18:33

klarsoweit

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Nicht ganz. Der Summand zu k=19 wurde ja abgezogen. Den darf es also nicht mehr geben.

04.11.2007, 11:21

jörgen

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oben stand doch:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=a}^b k^3 = \sum_{k=1}^b k^3 ~ - ~ \sum_{k=1}^{a-1} k^3 = S(b)-S(a-1) \end{eqnarray*}$

dann müsste k=19 doch richtig sein, weil k = a ist......?!?

04.11.2007, 12:15

klarsoweit

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Wenn a=19 wäre, dann müsste die rechte Summe bis 18 gehen. Das tut sie aber nicht.

04.11.2007, 12:49

jörgen

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=15}^{154}~k^3 \end{eqnarray*}$

weil bei mir k bei 4 anfängt und ich deswegen von der 19 noch die 4 abziehen muss?

04.11.2007, 13:52

klarsoweit

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Zitat:

Original von jörgen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{154}~(k)^3 - \sum_{k=4}^{19}~(k)^3 \end{eqnarray*}$

Heidinei.

Bei der linken Summe wird ab k=4 bis k=154 summiert. Bei der rechten Seite von k=4 bis k=19. Diese Summanden werden abgezogen. Also beim welchem Indexwert muß dann die linke Summe beginnen?

04.11.2007, 17:04

jörgen

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von jörgen
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{154}~(k)^3 - \sum_{k=4}^{19}~(k)^3 \end{eqnarray*}$

Heidinei.

Bei der linken Summe wird ab k=4 bis k=154 summiert. Bei der rechten Seite von k=4 bis k=19. Diese Summanden werden abgezogen. Also beim welchem Indexwert muß dann die linke Summe beginnen?

ehm 4? und dann von der 154 die 19 subtrahieren?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{135}~(k)^3 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 08:40

klarsoweit

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Es wird immer schlimmer. unglücklich

Schreibe mal auf, für welche k du bei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{154}~(k)^3 \end{eqnarray*}$ Summanden hast. Dasselbe machst du für $\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{19}~(k)^3 \end{eqnarray*}$ .

Dann überlegst du dir, für welche k welche Summanden bei der ersten Summe übrig bleiben, wenn du davon die Summanden der zweiten Summe abziehst.

05.11.2007, 20:29

jörgen

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hm...

von 4³ - 19³ würden die summanden verschwinden. die summe von 20³ - 154³ bleiben übrig. sprich

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=20}^{154}~k^3 \end{eqnarray*}$

besser ? Forum Kloppe

06.11.2007, 09:25

klarsoweit

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Einverstanden. Freude

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