Komponentenzerlegung eines Vektors

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Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »
Komponentenzerlegung eines Vektors
Hallo Leute bin neu hier im Mathe Forum!

Zur Zeit nehemen wir im Mathe Unterricht die Vektorrechnung durch. Und da taucht auch schon das erste Problem auf!

Gegeben sind die Vektoren a (k;-k;1), b (0;1;k), c (1;k^2;0) und d (1+k^2;-1;0) mit k Element R!

Ok, soweit so gut. Also die erste Aufgabe war zu zeigen, dass die Vektoren a,b,c im R^3 immer eine Basis bilden. Das war kein Problem.

Als nächstes galt es dann die Komponentenzerlegung des Vektors d in Bezug auf B = {a,b,c} zu bestimmen. Ich danchte mir, das sei dann d = (1+k^2)*a + (-1)*b + (0)*c. Das Lösungsbuch (natürlich ohne Rechenweg!) sagt d = (k)*a - b + c.

Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Bin echt dankbar für jede Hilfe!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komponentenzerlegung eines Vektors
die lösung ist richtig, und du bekommst sie wie üblich durch lösen des lgs

Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

danke für "LGS"! Ich war jetzt voll auf dem falschen Dampfer. Ich dachte die Vektoren B = {a,b,c} sind die Basisvektoren des Vektors d! Ich hab es mit dem Gauss - Verfahren gelößt und bin auch auf die angegebene Lösung gekommen!

Gruß
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Analysis_1
Hallo Werner,

danke für "LGS"! Ich war jetzt voll auf dem falschen Dampfer. Ich dachte die Vektoren B = {a,b,c} sind die Basisvektoren des Vektors d! Ich hab es mit dem Gauss - Verfahren gelößt und bin auch auf die angegebene Lösung gekommen!

Gruß


sind sie doch, oder verwirrt
Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaub das müssen wir jetzt nochmal diskutieren, nicht das ich da was völlig falsch verstehe! Die Lösung stimmt auf alle Fälle, lediglich zum Verständnis allgemein!

Also die 3 Vektoren a,b,c bilden ja für jedes k eine Basis im R^3. (Überprüft über das Determinantenkriterium). Folglich dachte ich, dass der Vektor d in der Spaltenschreibweise bezüglich der Basisvektoren a,b,c angegeben ist.

Also so d =(1+k^2;-1;0) -> d = (1+k^2)*(k;-k;1) + (-1)*(0;1;k) + (0)*(1;k^2;0).

Wenn es so wäre, hätte ich es dann richtig gesehen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

basis(vektoren)

so wie ich das verstehe, muß ja nicht stimmen:
a,b und c bilden eine basis -das hast du ja schon bewiesen-, sind also basisvektoren, daher kannst du jeden weiteren vektor als linearkombinaton der 3 darstellen, - aufgabe teil 2

deine darstellung funktioniert nicht für jede beliebige basis, sondern nur für spezielle, z.b. eine orthonormale.

beispiel


obwohl auch (7,2,1),(2,1,0) und (0,0,1) eine basis in R³ bilden.

du mußt also schon den weg über das lgs gehen unglücklich
kann natürlich alles auch mist sein verwirrt
denn grau ist alle theorie
 
 
Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

also das was du geschrieben hast, ist natürlich richtig. Denn die Koordianten eines Vektors ändern sich natürlich, wenn sich die Basisvektoren ändern.

Aber jetzt mal eine ganz andere Frage: Welche Basis haben dann die Vektoren a,b und c?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du es sagst unglücklich

ich denke so ist die frage sehr leicht oder sehr schwer - welche basis hat die basis verwirrt zu beantworten: viele, z.b. einer deiner favoriten unglücklich



wäre eine, und lies dir dazu - habe mich ja auch erst schlau verwirrt gemacht

das Austauschlemma von Steinitz durch, dann findest du weitere.

wie schon oben steht, hoffentlich stimmt es noch: je 3 l.u.a vektoren bilden in R³ eine basis, was ja umgekehrt heißt, du kannst jeden anderen vektor in R³ durch diese 3 darstellen



einige basen sind halt "praktischer" als andere unglücklich

ich hoffe, es stimmt so alles
Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, jetzt glaub ich wird einiges klarer! smile

Also jetzt sehe ich die Aufgabe wie folgt:

- Die Vektoren a,b,c und d sind in der Spaltenschreibweise in Bezug auf eine bestimmte Basis im R^3 angegeben.

- Der zweite Teil der aufgabe bestand darin, den Vektor in Komponentenschreibweise in Bezug auf die Vektoren a,b,c, die selbst wieder eine Basis im R^3 bilden anzugeben.

So glaub ich müsste es dann stimmen, oder?

Echt super dieses Forum - da findet man wirklich Hilfe!!!!
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte es noch ein wenig anders formuliert:

1) a, b und c sind linear unabhängig, daher bilden sie eine basis in R³(1.teil der aufgabe) NICHT auch noch d!

2) woraus folgt, dass man d als liearkombination von a, b und c ausdrücken kann (2.teil der aufgabe).

3) neben dieser basis gibt es beliebig viele andere basen, nämlich jedes tripel von linear unabhängigen vektoren.

4) wenn du einmal eine solche basis gewählt hast, kannst du jeden anderen vektor durch DIESE basis ausdrücken (siehe 2).

5) daher kannst du auch jede basis B(1) in die neue basis B(4) transformieren.
Analysis_1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die ausführlichen Formulierungen!

Also eines hat die Diskussion jetzt auf alle Fälle bewirkt:

Ich weiß jetzt, dass Vektoren, die in einer Aufgabe in der Spaltenschreibweise angegeben sind, die gleiche Basis haben, die den Vektoraum aufspannen.
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