Konvergenz von Reihen

02.11.2007, 14:27	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz von Reihen es gilt ja $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ q^{k} = \frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0\leq q<1 \end{eqnarray}$ wie ist das bei den reihen $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ k q^{k} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^\infty ~ k^{2} q^{k} \end{eqnarray}$
02.11.2007, 14:49	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lassen sich mittelbar auf die geometrische Reihe zurückführen. Und das auf alternativen Wegen: 1) durch Differentiation nach q 2) durch passende Cauchyprodukte (Faltungen) Ich gehe mal auf 2) kurz ein mit dem Beispiel $\begin{eqnarray} \left( \sum_{k=0}^{\infty} q^k \right)^2 = \sum_{k=0}^{\infty} \sum_{j=0}^k q^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) q^k \end{eqnarray}$ , woraus man dann $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} k q^k \end{eqnarray}$ bestimmen kann. Zur Bestimmung von $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} k^2 q^k \end{eqnarray}$ ist eine weitere solche Faltung nötig.
02.11.2007, 15:30	cheetah_83	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \frac{q}{(1-q)^{2}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{q(1+q)}{(1-q)^{3}} \end{eqnarray}$ ?
02.11.2007, 15:41	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, kommt hin, beides.

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