Fakultät umrechnen / umformen

13.04.2005, 20:25

derDaywalker

Fakultät umrechnen / umformen

Hallo.

Ich bräuchte Hilfestellung bei zwei Umformungen.
1.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m \\ r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m - k \\ r-k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

2. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m - k\\r - k \end{pmatrix} = 2^{r}\begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei 1.

Ich dachte mir, dass man das so rechnet:
Zuerst schreibe ich die ersten zwei Fakultäten so hin:

$\begin{eqnarray*} \frac{m!}{r! (m-r)!} * \frac{r!}{k!(r-k!)} \end{eqnarray*}$
Da kann man dann ja das r! kürzen und auf ein Bruchstrich schreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{m!}{(m-r)!k!(r-k!)} \end{eqnarray*}$

Jetzt komme ich aber dahin, wo ich leider schon nicht mehr weiter weiß. Weil wie bekomme ich bei dem (m-r)! das r raus, so dass da dann später (m-k) steht.

Bei 2.
Da hab ich nicht so wirklich die ahnung.
Ich könnte mir vorstellen, dass ich einfach mal für k das r einsetze, so würe ich dann auf folgendes kommen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-r\\r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-r\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} * 1 \end{eqnarray*}$
wie man allerdings auf die $\begin{eqnarray*} 2^r \end{eqnarray*}$ kommt, weiß ich net so wirklich.

Würde mich freuen, wenn ich ne antwort bekommen würde. Und ich hoffe, ich hab net ins falsche Forum gepostet :-D

Mfg

13.04.2005, 21:12

Calvin

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RE: Fakultät umrechnen / umformen
Zu 1)

Erweitere mal mit $\begin{eqnarray*} \frac{(m-k)!}{(m-k)!} \end{eqnarray*}$ . Dann mußt du nur noch sortieren.

Zu 2) habe ich auch noch keine Idee.

EDIT
Versuche mal die Summanden bei 2) mit Hilfe von 1) zu ersetzen und schreibe dir dann die einzelnen Summanden hin. Ich weiß zwar immer noch nicht weiter, da ich in dem Thema in letzter Zeit wenig gemacht habe, aber vielleicht findest du ja jetzt weitere Zusammenhänge smile

13.04.2005, 22:30

Leopold

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$\begin{eqnarray*} {m \choose k} \cdot {{m-k} \choose {r-k}} = \frac{m!}{k!(m-k)!} \cdot \frac{(m-k)!}{(r-k)!(m-r)!} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{r!}{k!(r-k)!} \cdot \frac{m!}{r!(m-r)!} = {r \choose k} \cdot {m \choose r} \end{eqnarray*}$

In der Summe kann dann $\begin{eqnarray*} {m \choose r} \end{eqnarray*}$ vor das Summenzeichen gezogen werden.

13.04.2005, 23:17

derDaywalker

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Big Thx!

Nur noch mal zur Aufgabe 2, verstehe es net ganz.

Ist es so richtig, wie ich es gemacht hab? Also einfach r für k eingesetzt und dann steht da:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~ \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-k\\r-k \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-r\\r-r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} m-r\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Glaube nicht, dass ich das richtig hab. Aber hab leider ka. wie ich das genau schreiben soll, Summen, sind net so meine Stärke :-D

Vor allem weiß ich immer noch nicht, wie man auf $\begin{eqnarray*} 2^r \end{eqnarray*}$ kommt.

13.04.2005, 23:39

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Zitat:

Original von derDaywalker
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~ \begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-k\\r-k \end{pmatrix} = \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-r\\r-r \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso änderst du einfach (r-k) in (r-r), das geht so nicht! unglücklich

Beachte doch Leopolds Hinweis:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~{m \choose k} {m-k \choose r-k} = \sum_{k=0}^r~{m \choose r} {r \choose k} = {m \choose r}\sum_{k=0}^r~{r \choose k} \end{eqnarray*}$

Und falls dir die Summe ganz rechts nichts sagt, denke an den Binomischen Satz, bezogen auf $\begin{eqnarray*} (1+1)^r \end{eqnarray*}$ .

14.04.2005, 10:52

derDaywalker

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Hallo

Ich weiß, dass das was mit dem Pascalsche Dreieck zu tun hat. Also dass man die Binome so hinschreiben kann und die Summe der Zeile entspricht der zweierpotenz hoch so viel wie die Zeile drüber Elemente hatte.

Aber wie ich das nun bei der Summe umformen kann, bin ich ratlos.

Wenn ich z.B. folgendes Beispiel nehme:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} 5 \\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\0 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5\\1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5\\3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5\\4 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix} = 1 + 5 + 10 + 10 +5 +1 = 32 = 2^5 \end{eqnarray*}$

wie genau ich das jetzt aber aus der formel oben rausbekomme, weiß ich net genau.

Ich meine zur Not schreib ich hin, dass aus $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix}\sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} r\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} 2^r \end{eqnarray*}$ gilt und wenn ich es an der Tafel vorrechne, kann ich auch das Beispiel von oben zur Not zeigen, aber genau aus der Summe das rausformen kann ich net wirklich.

14.04.2005, 11:01

klarsoweit

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Es gilt der binomische Satz:
$\begin{eqnarray*} (a + b)^n = \sum_{k=0}^n~{n \choose k} \cdot a^k \cdot b^{n-k} \end{eqnarray*}$
Nun setze mal a=b=1. Arthur Dent hatte das schon gesagt.

14.04.2005, 14:15

derDaywalker

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Aja

glaube jetzt hab ich es verstanden.

Wenn da jetzt z.B. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} 2^k 2^{n-k} \end{eqnarray*}$ dastehen würde, dann wäre das ja also $\begin{eqnarray*} 4^n \end{eqnarray*}$ also wegen $\begin{eqnarray*} (2+2)^n \end{eqnarray*}$

und wenn da z.B. dastehen würde:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \begin{pmatrix} n\\k \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann würde des wohl $\begin{eqnarray*} 2^n-1 \end{eqnarray*}$ sein oder?

Also müsste es ja eigentlich ausreichen, wenn ich folgendes für die Aufgabe aufs Blatt schreibe:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} m\\k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} m-k\\r-k \end{pmatrix} =~\sum_{k=0}^r \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} \sum_{k=0}^r~\begin{pmatrix} r\\k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m\\r \end{pmatrix} 2^r \end{eqnarray*}$ laut Binomialsatz!

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