Grenzwerte

02.11.2007, 17:45

grenzwert

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Grenzwerte

hallo zusammen,

muss Grenzwerte bestimmen für:

a) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{10 x^{2} - 29x +10}{\sqrt{10x} - \sqrt{5x + 2}} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(5x)-cos(7x)}{1 - cos(2x)} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ( \frac{5x-2}{5x+2} )^{7x} \end{eqnarray*}$

die Grenzwerte bei b) und c) sind bei mir 0, denn
zu b) $\begin{eqnarray*} cos(x) -> 1 \end{eqnarray*}$ für x->0, somit auch cos(5x), cos(2x) und cos(7x)
zu c) $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ( \frac{5x-2}{5x+2} )^{7x} = \lim_{x \to \infty } ( \frac{5-2/x}{5+2/x} )^{7x} \end{eqnarray*}$ und wenn (...) zu 0 wird, dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } ( \frac{5x-2}{5x+2} )^{7x} -> 0 \end{eqnarray*}$

hat jemand ne Idee wie a) geht?
vielen Dank im Voraus!

02.11.2007, 17:58

Airblader

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Deine Argumentation verstehe ich nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos(2x) = 1 \end{eqnarray*}$ stimmt ja.

Aber was passiert bei b) dann mit dem Nenner? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

02.11.2007, 18:00

tmo

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also bei b) kommt nicht 0 raus. kennst du l'hospital?

bei c) kommt 0 raus, allerdings stimmt deine begründung nicht. denn die klammer konvergiert von unten gegen 1 nicht gegen 0.

zu a) erweitere mal so, dass du im nenner die 3te binomische formel anwenden kannst.

dann faktorisierst du den quadratischen term im zähler, sodass du letztendlich den linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-\frac{2}{5}) \end{eqnarray*}$ kürzen kannst

02.11.2007, 18:02

grenzwert

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Zitat:

Original von Airblader
Deine Argumentation verstehe ich nicht.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \cos(2x) = 1 \end{eqnarray*}$ stimmt ja.

Aber was passiert bei b) dann mit dem Nenner? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

im Nenner hab ma dann 1-0,99999999....=0,00....01
und jetzt? verwirrt

verwirrt

02.11.2007, 18:04

kiste

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Nein bei c) kommt keinesfalls 0 raus, warum den auch?
Bei der c) muss man die Grenzwertdarstellung der eulerschen Zahl benutzen

02.11.2007, 18:15

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo
also bei b) kommt nicht 0 raus. kennst du l'hospital?

ja, das mit der Ableitung, oder?

also
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{cos(5x)-cos(7x)}{1 - cos(2x)} =\frac{\lim_{x \to 0}(-5sin(5x)+7sin(7x))}{\lim_{x \to 0}2sin(2x)} \end{eqnarray*}$
kommt aber trotzdem 0 raus.....oder seh ich was falsch?

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02.11.2007, 18:17

grenzwert

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Zitat:

Original von kiste
Nein bei c) kommt keinesfalls 0 raus, warum den auch?
Bei der c) muss man die Grenzwertdarstellung der eulerschen Zahl benutzen

wie geht das? Gott

Gott

02.11.2007, 18:17

tmo

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wende nun nochmal l'hospital an.

02.11.2007, 18:19

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo

zu a) erweitere mal so, dass du im nenner die 3te binomische formel anwenden kannst.

dann faktorisierst du den quadratischen term im zähler, sodass du letztendlich den linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-\frac{2}{5}) \end{eqnarray*}$ kürzen kannst

mit was soll ich erweitern?

02.11.2007, 18:25

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo
wende nun nochmal l'hospital an.

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_{x \to 0}(-25cos(5x)+49cos(7x))}{\lim_{x \to 0}4cos(2x)} -> \frac{-25+49}{4} = 6 \end{eqnarray*}$

stimmt jetzt? verwirrt

verwirrt

02.11.2007, 18:38

tmo

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ja das stimmt jetzt bei der b)

nochmal zur c) diese funktion konvergiert nicht gegen 0, da hab ich mich geirrt.

versuch mal folgenden ansatz:

$\begin{eqnarray*} (\frac{5x-2}{5x+2})^{7x} = e^{7x \cdot ln(\frac{5x-2}{5x+2})} \end{eqnarray*}$

es reicht also den grenzwert von $\begin{eqnarray*} 7x \cdot ln(\frac{5x-2}{5x+2}) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, was mit l'hospital kein allzugroßes problem ist.

02.11.2007, 19:07

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo
ja das stimmt jetzt bei der b)

nochmal zur c) diese funktion konvergiert nicht gegen 0, da hab ich mich geirrt.

versuch mal folgenden ansatz:

$\begin{eqnarray*} (\frac{5x-2}{5x+2})^{7x} = e^{7x \cdot ln(\frac{5x-2}{5x+2})} \end{eqnarray*}$

es reicht also den grenzwert von $\begin{eqnarray*} 7x \cdot ln(\frac{5x-2}{5x+2}) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, was mit l'hospital kein allzugroßes problem ist.

hmm wie kann man hier l´hospital anwenden?

also ich habs so:
$\begin{eqnarray*} lim [ 7x \cdot ln(\frac{5x-2}{5x+2})] = lim [ 7x(ln(5x-2) - ln(5x+2))] \end{eqnarray*}$
konvergiert aber trotzdem gegen 0 verwirrt

verwirrt

03.11.2007, 18:30

klarsoweit

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Schreibe so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{ln(5x-2) - ln(5x+2)}{1/x} \end{eqnarray*}$

Jetzt geht l'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2007, 11:01

grenzwert

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schreibe so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{ln(5x-2) - ln(5x+2)}{1/x} \end{eqnarray*}$

Jetzt geht l'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

achso, das konvergiert dann gegen 0, danke!

04.11.2007, 11:24

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo

zu a) erweitere mal so, dass du im nenner die 3te binomische formel anwenden kannst.

dann faktorisierst du den quadratischen term im zähler, sodass du letztendlich den linearfaktor $\begin{eqnarray*} (x-\frac{2}{5}) \end{eqnarray*}$ kürzen kannst

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{10 x^{2} - 29x +10}{\sqrt{10x} - \sqrt{5x + 2}}<br /> = \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{(10 x^{2} - 29x +10)( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) }{(\sqrt{10x} - \sqrt{5x + 2})( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2})} <br /> = \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{(5x+2)(2x - \frac{33}{5} + \frac{23,2}{5x+2}) ( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) }{5x + 2} <br /> = \lim_{x \to \frac{2}{5}} (2x - \frac{33}{5} + \frac{23,2}{5x+2}) ( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) \end{eqnarray*}$
und jetzt? verwirrt

verwirrt

04.11.2007, 11:30

grenzwert

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Zitat:

Original von klarsoweit
Schreibe so:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{ln(5x-2) - ln(5x+2)}{1/x} \end{eqnarray*}$

Jetzt geht l'Hospital. Augenzwinkern

Augenzwinkern

das ganze sieht dann so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{ln(5x-2) - ln(5x+2)}{1/x} = \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{\frac{5}{5x-2} - \frac{5}{5x+2}}{-1/x^{2}} \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \frac{5}{5x-2} - \frac{5}{5x+2} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert für x->oo, konvergiert der ganze Ausdruck gegen 0.
Stimmt das?

04.11.2007, 12:12

klarsoweit

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Nein, das stimmt nicht. Der Nenner konvergiert ja auch gegen Null. Fasse erstmal die Brüche im Zähler zusammen.

04.11.2007, 12:15

tmo

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nein der ausdruck konvergiert nicht gegen 0.
bringe den zähler am besten wieder auf einen bruch und beachte dann, dass man durch einen bruch ( $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ ) teilt, indem man mit dem kehrwert multipliziert.

zu der aufgabe mit den wurzeln: vom prinzip her jetzt richtig angefangen, jedoch:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{10x}-\sqrt{5x+2})(\sqrt{10x}+\sqrt{5x+2}) = 10x-(5x+2) = 5x-2 \neq 5x+2 \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 12:28

grenzwert

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ich glaub ich hab nen fehler beim ableiten gemacht
das müsste so heißen:
$\begin{eqnarray*} (ln(5x-2))' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ oder?

04.11.2007, 12:41

grenzwert

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obwohl vorher wars richtig

ok nochmal:

also nochmal:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{ln(5x-2) - ln(5x+2)}{1/x} = \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{\frac{5}{5x-2} - \frac{5}{5x+2}}{-1/x^{2}} = \lim_{x \to \infty}~7\cdot \frac{-20}{25 - \frac{4}{x^{2}}} = \frac{-28}{5} \end{eqnarray*}$

stimmt jetzt?

04.11.2007, 12:54

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo

zu der aufgabe mit den wurzeln: vom prinzip her jetzt richtig angefangen, jedoch:

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{10x}-\sqrt{5x+2})(\sqrt{10x}+\sqrt{5x+2}) = 10x-(5x+2) = 5x-2 \neq 5x+2 \end{eqnarray*}$

achso, jetzt seh ich meinen fehler

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{10 x^{2} - 29x +10}{\sqrt{10x} - \sqrt{5x + 2}} = \lim_{x \to \frac{2}{5}} \frac{(5x-2)(2x - 5) ( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) }{5x - 2} = \lim_{x \to \frac{2}{5}}(2x - 5) ( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich wieder nicht wie es weiter geht traurig

traurig

04.11.2007, 12:56

tmo

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-28/5 ist richtig Freude

Freude

jetzt musst du dich an die ursprungsaufgabe erinnern. wie ist deren grenzwert dann?

und der aufgabe mit den wurzeln: einfach einsetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.11.2007, 13:05

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo
-28/5 ist richtig Freude

Freude

jetzt musst du dich an die ursprungsaufgabe erinnern. wie ist deren grenzwert dann?

du meinst $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-28}{3}} = 0,00336978... \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2007, 13:07

grenzwert

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Zitat:

Original von tmo

und der aufgabe mit den wurzeln: einfach einsetzen Augenzwinkern

Augenzwinkern

also

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \frac{2}{5}}(2x - 5) ( \sqrt{10x} + \sqrt{5x + 2}) = \frac{84}{5} \end{eqnarray*}$ ?

04.11.2007, 13:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von grenzwert
du meinst $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-28}{3}} = 0,00336978... \end{eqnarray*}$ ?

Erstmal ist das $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-28}{5}} \end{eqnarray*}$ und zweitens stimmt die Zahl auch nicht. unglücklich

unglücklich

04.11.2007, 13:52

grenzwert

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von grenzwert
du meinst $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-28}{3}} = 0,00336978... \end{eqnarray*}$ ?

Erstmal ist das $\begin{eqnarray*} e^{\frac{-28}{5}} \end{eqnarray*}$ und zweitens stimmt die Zahl auch nicht. unglücklich

unglücklich

hab mich verschrieben:
[latex]e^{\frac{-28}{5}} = 0,00369786...

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