Satz von Lebesgue für beschränkte Funktion

02.11.2007, 18:16

MisterMagister

Satz von Lebesgue für beschränkte Funktion

Hallo, ich hab da ein kleines Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathcal{C}_b(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ der Raum der stetigen, beschränkten Funktionen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Nun behauptet ein Professor in seiner Vorlesung, dass für $\begin{eqnarray*} g \in \mathcal{C}_b(\mathbb{R}^d) \end{eqnarray*}$ und für eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \subset \mathbb{R}^d \end{eqnarray*}$ das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n) d\lambda \end{eqnarray*}$ nach dem Satz von Lebesgue gegen $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x) d\lambda \end{eqnarray*}$ konvergiert, da man ja $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ stets durch $\begin{eqnarray*} \| g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ abschätzen könne. Aber so wie ich den Satz verstanden habe muss die Majorante doch integrierbar sein und das Integral über $\begin{eqnarray*} \| g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ ist doch stets gleich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ weshalb $\begin{eqnarray*} \| g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ nicht integrierbar ist. Damit ist die Majorante doch gar nicht zulässig, oder?

03.11.2007, 19:29

Abakus

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RE: Satz von Lebesgue für beschränkte Funktion
Hm, ich bin hier noch am überlegen. Was ist denn

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n) d\lambda \end{eqnarray*}$

erstmal für ein Integral bzw. anders gefragt, was ist das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ für ein Maß ? (endlich ?)

Grüße Abakus smile

03.11.2007, 19:55

MisterMagister

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Eigentlich $\begin{eqnarray*} \lambda^d \end{eqnarray*}$ , das d-dimensionale Lebesgue-Maß.

03.11.2007, 20:09

WebFritzi

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RE: Satz von Lebesgue für beschränkte Funktion
$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n) d\lambda = g(x_n)\int_{\mathbb{R}^d}\,d\lambda \end{eqnarray*}$ existiert nicht.

03.11.2007, 20:55

MisterMagister

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Oh bin ich blöd. Hammer

Es muss auch $\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n-y)dy \end{eqnarray*}$ heißen (ich spar mir jetzt das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ), aber das existiert doch auch nicht unbedingt, oder?

Eigentlich ging es darum zu zeigen, dass die Faltung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit einer $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ -Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (also messbar) stetig ist. Das heißt ich will zeigen ,dass

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n-y)f(y)dy \longrightarrow \int_{\mathbb{R}^d} g(x-y)f(y)dy \end{eqnarray*}$

nach dem Satz von Lebesgue. Aber wie soll das gehen, wenn das Integral ganz oben gar nicht existiert?

03.11.2007, 20:59

Dual Space

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Zitat:

Original von MisterMagister
Eigentlich ging es darum zu zeigen, dass die Faltung von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit einer $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ -Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ (also messbar) stetig ist. Das heißt ich will zeigen ,dass

$\begin{eqnarray*} \int_{\mathbb{R}^d} g(x_n-y)f(y)dy \longrightarrow \int_{\mathbb{R}^d} g(x-y)f(y)dy \end{eqnarray*}$

nach dem Satz von Lebesgue.?

Und schon sieht die Sache ganz anders aus. Nun kannst du g mit seinem Supremum abschätzen, weil f integrierbar ist.

03.11.2007, 21:25

MisterMagister

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Oh wie dämlich.

Der Prof. sprach nur davon $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ abzuschätzen und deshalb dachte ich, er würde den Satz von Lebesgue nur auf $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ anwenden.

Stattdessen ist es so, dass die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n := g(x_n-y)f(y) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \|g\|_{\infty} \end{eqnarray*}$ abgeschätzt werden kann und $\begin{eqnarray*} \|g\|_{\infty}f(y) \end{eqnarray*}$ ist eine integrierbare Majorante, da $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^1 \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum ist.

Na dann is ja alles klar. Vielen Dank.

04.11.2007, 15:26

WebFritzi

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Und $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen x? Das hast du auch nirgends gesagt...

10.11.2007, 13:09

MisterMagister

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Ja, klar.

10.11.2007, 14:02

WebFritzi

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Zitat: