linke und rechte Nebenklassen

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02.11.2007, 18:51	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
linke und rechte Nebenklassen Hallöchen Ihr da draussen Komme bei folgender Aufgabe kein bisschen voran und sehe auch überhaupt keinen Ansatz, weil unser Prof irgendwie viel zu wenig zu dem Thema gesagt hat. Sei $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ die Gruppe der Permutationen der Menge $\begin{eqnarray} \{ 1,...,n\}, n\geq 1 \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Teilmene von $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ definiert durch $\begin{eqnarray} H= \{f\in S_{n}:f(n)=n\} \end{eqnarray}$ 1-beschreiben Sie die linken und rechten Nebenklassen für $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ 2-für welche $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ Normalteiler von $\begin{eqnarray} S_{n} \end{eqnarray}$ ? zu 1 Tja das einzige, was mir hier einfällt, ist: $\begin{eqnarray} \forall g\in S_{n}: g(n)= (gf)(n) =(fg)(n) \end{eqnarray}$ Was mir das allerdings bringen soll und was eigentlich genau zu tun ist, weiß ich nicht. zu 2 Ich denke, dass das auf 1. aufbaut und so wirklich ne Idee hab ich deswegen gar nicht [edit:] ja, sorry ist algebra, aber wir machen das in ana1^^
02.11.2007, 20:08	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, versuche dir doch einmal vorzustellen was es bedeutet eine Nebenklasse zu bilden. Die Relation so das 2 Funktionen in einer Nebenklasse liegen ist gegeben durch: $\begin{eqnarray} f R g \Leftrightarrow f = g\circ h \end{eqnarray}$ mit einem $\begin{eqnarray} h\in H \end{eqnarray}$ . Jetzt sind in H all jene Permutationen die, die n-te Komponente gleichlassen. Was ist also entscheidend dafür das 2 Funktionen in der gleichen Nebenklasse liegen? PS: Die Aufgabe halt ich für ziemlich schwierig für ana1 oO
02.11.2007, 20:36	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
1)Naja, zumindest bei der linken Nebenklasse, dass da eben das letzte Element gleich ist. Aber was genau bringt mir das und was davon nennt man jetzt Beschreibung der Nebenklasse? 2) Offensichtlich ists für 3 schon nicht mehr Normalteiler, dann doch auch nicht für größere n oder?
02.11.2007, 21:30	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das letzte Element ist entscheidend. Das heißt alle Funktionen die f(n) = i abbilden gehören in eine Nebenklasse. Ändert sich etwas daran wenn wir die Funktion h oben von rechts "ranmultiplizieren"? Zu 2) Aussagen wie offensichtlich solltest du, insbesondere am Anfang deines Studiums, tunlichst vermeiden. Kannst du es begründen das es kein Normalteiler ist?
02.11.2007, 21:50	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab das mit n=3 gemacht und da komme ich für $\begin{eqnarray} c \circ b \end{eqnarray}$ , auf etwas anderes als für $\begin{eqnarray} b \circ c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b\circ c= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} c\circ b= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s_{n}H\neq Hs_{n} \end{eqnarray}$ Damit ist es kein Normalteiler.
02.11.2007, 21:59	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein das ist falsch, nur weil es nicht kommutativ ist, bedeutet es nicht das Linksnebenklassen = Rechtsnebenklasse nicht gilt. Es kann doch ein $\begin{eqnarray} d\in H \end{eqnarray}$ geben so dass $\begin{eqnarray} b\circ c = d\circ b \end{eqnarray}$ . D.h. du musst für alle Permutationen in H zeigen das es nicht getroffen wird.
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02.11.2007, 22:09	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} H=(\circ,\{ e, \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{pmatrix} \}) \end{eqnarray}$ das ist doch wahr, oder? So und darum ist $\begin{eqnarray} s_{3}H=(\circ,\{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix}\}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Hs_{3}=(\circ,\{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}\}) \end{eqnarray}$ und das ist ja nicht gleich. Richtig? Aber das beantwortet ja noch lange nicht die Frage, wie ich die Nebenklassen zu beschreiben hab. Und für 2. : Gilt das nun automatisch für größere n auch [edit]ahhhh, also für die linke Nebenklasse gilt, dass das n. Element gleich bleibt und für eine rechte Nebenklasse gilt: immer das selbe Element wird auf n abgebildet ist es dass, was ich zeigen soll? Muss ich das jetzt noch beweisen, wenn ja, wie?
02.11.2007, 22:19	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt ist die Argumentation stichfest Automatisch gilt das noch nicht für alle anderen n. Dazu musst du versuchen die Argumentation zu verallgemeinern. Betrachte dabei was passiert mit dem n-ten Element bei der Konkatenation. zumindest die Linksnebenklassen solltest du jetzt allgemein beschreiben können anhand des letzten Elements. Bei den Rechtsnebenklasse betrachte doch einmal die mittlere Spalte, fällt dir da was auf? Kannst du es verallgemeinern?
02.11.2007, 23:08	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Reicht es zu sagen, dass $\begin{eqnarray} \forall g\in S_{n}: \begin{pmatrix} ... & ... & ... & ... & ... & n\\ n & ... & ... & ...&... & g(n) \\ \end{pmatrix}\in gH \end{eqnarray}$ aber nicht zwingend $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} ... & ... & ... & ... & ... & n\\ n & ... & ... & ...&... & g(n) \\ \end{pmatrix}\in Hg \end{eqnarray}$ gilt?
02.11.2007, 23:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du zeigen kannst das es nicht in Hg liegt reicht das aus(auch wenn ich nicht glaube das ihr das soo genau zeigen müsst)
02.11.2007, 23:16	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann bedanke ich mich und wünsche noch einen angenehmen Abend. Denke, dass ich alles verstanden habe, gerne wieder
04.11.2007, 17:30	speedyschmidt	Auf diesen Beitrag antworten »
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