Gleichung der Mittelsenkrechten

02.11.2007, 18:25	killerin84	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung der Mittelsenkrechten Hey! Ich brauch mal wieder eure Hilfe bezüglich einer Vektoraufgabe: Gegeben ist das Dreieck mit den Punkten A(-4/8), B(5/-4) und C(7/10). Bestimme die Gleichung der Mittelsenkrechten von AB und BC Ich wollte zunächst die Mittelsenkrechte von AB bestimmen... dafür brauch ich ja nunmal erst den Mittelpunkt der Strecke, ich bekomm dabei M(3/-4) raus. Da es ja die Mittelsenkrechte ist, suche ich ja eigentlich eine Orthogonale im Punkt M(3/-4), mit Hilfe des Skalarprodukts weiß ich also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ * $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} o_1 \\ o_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = 0. Aufgelöst heißt das also: 3o1 - 4o2 = 0 Aber wie geht es dann weiter? Ich hatte überlegt, dass die Mittelsenkrechte ja auch orthogonal zu dem Normalenvektor der Ebene von dem Dreieck ABC sein muss, aber den Normalenvektor kann ich irgendwie nicht bestimmen...Parameterform der Ebene ist ja E:x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + k* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 9 \\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + l* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 11 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ weiter komm ich aber irgendwie nicht..entweder bekomm ich dann für den Normalenvektor 0/0 raus oder eine falsche Aussage (kann ich den überhaupt einen Normalenvektor im R² bilden?) Es wäre sehr lieb, wenn ihr mir ein paar Tipps geben könntet, ich glaub ich hab nämlich mal wieder ein Brett vorm Kopf und denk viel zu kompliziert...
02.11.2007, 19:05	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
schon der Mittelpunkt ist falsch. Sei M der mittelpunkt von AB dann gilt. $\begin{eqnarray} \vec{OM} = \vec{OA} + \vec{AM} = \vec{OA} + \frac{1}{2} \vec{AB} = \vec{OA} + \frac{1}{2} (\vec{OB} - \vec{OA}) = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OA}) \end{eqnarray}$
02.11.2007, 19:09	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Mittelpunkt von AB stimmt nicht; er ist $\begin{eqnarray} M_{AB} (\frac{1}{2}; {2}) \end{eqnarray}$ . Der Richtungsvektor der Mittensenkrechten steht senkrecht auf den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{AB} \end{eqnarray}$ . Da du dich in R2 befindest, hat der Normalvektor einer Ebene hier wenig Sinn. Einen Normalvektor findet du, indem du die Koordinaten des ursprünglichen Vektors vertauscht und eine davon negativ machst. mY+
02.11.2007, 19:46	killerin84	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung der Mittelsenkrechten Vielen dank schonmal Hab mir das mit dem Mittelpunkt mit 1/2 (0B - 0A) wohl ein wenig einfach gemacht, wasG Okay, also hab ich dann mit meinem Mittelpunkt von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einen Normalenvektor von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2\\ 1/2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ .... Wäre das dann schon meine Lösung? also g:x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + k* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2\\ 1/2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ? Kann ich die Bildung des Normalenvektors einfach dadurch begründen, dass dann das Skalarprodukt Null wird? Wäre dann auch jeder andere Vektor möglich oder woher weiß man dass ich die Koordinaten vertauschen und ein Vorzeichen umdrehen muss?
02.11.2007, 20:55	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst den Normalvektor von AB nehmen, nicht von OM! Ja, du kannst dies mittels des Skalarproduktes testen, klar! Es muss natürlich 0 ergeben. mY+
03.11.2007, 01:43	killerin84	Auf diesen Beitrag antworten »
da AB = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 9\\ -12 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist also mein Normalenvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12\\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , richtig....? Somit hätte ich dann für die Gleichung der Mittelsenkrechten raus: g:x = $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1/2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ + k* $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12 \\9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Denk mal das müsste nun stimmen? Von daher: Vielen lieben Dank!!!
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03.11.2007, 07:26	ikarus08	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, vielleicht noch eine Kleinigkeit: Es muss ein Vektorpfeil über das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , also würde es heißen: $\begin{eqnarray} \mathrm{g: }\:\vec{x}=\begin{pmatrix} 0{,}5 \\ 2 \end{pmatrix} + k \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
03.11.2007, 10:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
.. und noch eine Kleinigkeit: Den Richtungsvektor (12;9) kann man noch zu (4;3) abkürzen, weil dort der Parameter k dabeisteht. Den Faktor 3 kann man sozusagen herausziehen und sich mit k vereinigt denken. mY+

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