Polynom <=> unendlich oft diffbar und ab n-ter Ableitung = 0

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nafets Auf diesen Beitrag antworten »
Polynom <=> unendlich oft diffbar und ab n-ter Ableitung = 0
Hallo zusammen,

noch eine Aufgabe:
Zitat:
Zeigen Sie: Eine Funktion ist ein Polynom genau dann, wenn sie unendlich oft diffbar ist und für ein gilt.


"Hinrichtung" ist ja trivial, Rückrichtung wäre das vielleicht auch, wenn man schon Integralrechnung hätte. Da ich das aber noch nicht hatte, hier meine Frage: Wie argumentiere ich hier?


Danke im Voraus,

Stefan
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Genau genommen brauchst du von der Integralrechnung nur eine Aussage:

Zitat:
Es sei die Funktion gegeben. Ist eine Funktion mit , dann sind sämtliche Lösungen der Gleichung durch mit einer Konstante darstellbar.

Alles ohne Integrale formuliert. Augenzwinkern

Und diese Aussage reicht für die Rückrichtung! Wenn nötig, kannst du sie ja noch beweisen.
Karl2 Auf diesen Beitrag antworten »

geht auch sinngemäß so:

Weil gilt, ergibt sich, dass das nte-Taylorpolynom kein Restglied mehr hat. ---> Taylorpolynom und f sind identisch, Also ist f ein Polynom. Andersrum ist f ein Polynom mit grad n so ergibt sich nach n+1 maligem ableiten das Nullpolynom als Ergebnis. Allerdings muss man dann sagen, dass ein Polynom mit Ausnahme des Nullpolynoms, einen endlichen Grad haben muss. Leider find ich dafür, dass ein Polynom einen endlichen Grad haben muss keine Bestätigung im Netz, denke aber, dass es so sein muss, weil man es ja sonst unendlich oft ableiten könnte und nie das Nullpolynom bekommen würde.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Allerdings ist das Restglied des n-ten Taylorpolynoms ja , es müsste also sein. Aber es war ja auch nur ein sinngemäßer Ansatz und als solcher war er richtig.
Übrigens habe ich den Begriff "unendlicher Grad" noch nicht gehört. Aber was du damit meinst, ist ja nichts anderes als eine Potenzreihe und dass die nicht unbedingt eine Ableitung haben muss, die dem Nullpolynom gleicht, ist ja klar:

Z.B. ist ja , jede Ableitung der linken Seite ist vom Nullpolynom verschieden (ja, sie wird ja nicht einmal 0!). Und damit ist auch jede Ableitung der rechten Seite vom Nullpolynom verschieden, da ja mit der Ableitung von der linken gleich.
Entsprechendes kann man sich für die Taylorreihen von sin und cos und für ganz andere Potenzreihen auch überlegen.
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst nur den Satz: "Ist f auf D differenzierbar und f'(x)=0 für alle x aus D, dann ist f auf D konstant." Ich denke, den hattet ihr schon, so dass Du ihn auch benutzen kannst. Mit Induktion über n kannst du dann deine Aussage beweisen.
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