Induktion

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Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion
Hallo alle zusammen,

ich habe eine Frage zu einer Aufgabe:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen m,n mit m<=n gilt:




In der Vorlesung haben wir zwei Induktionsprinzipien kennengelernt und ich denke, dass man diese Aufgabe mit dem zweiten Prinzip lösen soll:

2.
A(n) ist für alle n element Z mit n>=n0 richtig, falls die folgenden Aussagen gelten:

i) A(n0)

ii) Für jedes n element Z mit n >= n0 gilt:
Aus A(k) für jedes k mit n0 <= k <= n folgt A(n + 1).


Muss ich das jetzt mittels dieses Prinzips machen, weil ja zwei Variablen dirn vorkommen oder kann ich die Aufgabe einfach über die Standart Induktion lösen (klappt irgendwie auch)?
Danke
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktion
Die Induktion läuft über n, du kannst gerne beide Varianten ausprobieren und dabei genau hinschauen, welche Voraussetzungen du brauchst. Dann siehst du es.

Ich denke, die "Standardform" reicht aus.

Grüße Abakus smile
Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Macht das also keinen Unterschied, wenn man die Formel für n und m beweisen soll? Wenn ich das 2. Prinzip anwende, habe ich dann dazu noch eine Frage:

Man soll ja praktisch zeigen, dass folgendes für die Formel gilt:




das ist ja praktisch gleich...



Nur die linke Seite ist ja eigentlich trivial, oder (da steht ja 1=1)? Hab ich dann einfach keine voraussetzung oder bedeutet das, dass die rechte Seite einfach immer gelten muss?

Danke
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joe1
Man soll ja praktisch zeigen, dass folgendes für die Formel gilt:



Bitte schreibe Quantoren immer vor eine Aussage. Hier ist es so, dass m von n in gewisser Weise abhängig ist. Du zeigst den IS einfach für alle m:



Grüße Abakus smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Bitte schreibe Quantoren immer vor eine Aussage. Hier ist es so, dass m von n in gewisser Weise abhängig ist. Du zeigst den IS einfach für alle m:

Ich würde die Induktion über n machen. Das heißt, für festes m ist die Aussage für alle n >= m zu zeigen. Der Induktionsanfang ist dann n=m.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Ich würde die Induktion über n machen. Das heißt, für festes m ist die Aussage für alle n >= m zu zeigen. Der Induktionsanfang ist dann n=m.


Ja, genau das meinte ich (Entschuldigung, wenn ich es unklar formuliert habe). Beim Induktionsschritt ist dann der Fall m = n + 1 noch extra zu erwähnen.

Grüße Abakus smile
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Ja, genau das meinte ich (Entschuldigung, wenn ich es unklar formuliert habe). Beim Induktionsschritt ist dann der Fall m = n + 1 noch extra zu erwähnen.

Grüße Abakus smile

Nee, nicht nötig. Man sagt einfach, daß man m beliebig, aber fest wählt. Wenn man dann die Induktion über n macht, ist die Aussage für alle n >= m bewiesen.
Joe1 Auf diesen Beitrag antworten »

Also kann ich einfach zeigen dass aus A(n) A(n+1) folgt, wenn ich davor sage, dass m beliebig aber fest ist?
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Joe1
Also kann ich einfach zeigen dass aus A(n) A(n+1) folgt, wenn ich davor sage, dass m beliebig aber fest ist?


Ja, kannst du. In A(n) hast du und fest. Bei A(n+1) kann nun zusätzlich noch der Fall auftreten, aber der ist unmittelbar ersichtlich.

Grüße Abakus smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Abakus
Bei A(n+1) kann nun zusätzlich noch der Fall auftreten, aber der ist unmittelbar ersichtlich.

Nee, da kann nicht sein. Nochmal die Vorgehensweise:

1. Man sagt: wähle ein beliebiges, aber festes m mit m >= 1 .
2. Mache eine vollständige Induktion über n mit dem Induktionsanfang n=m.
3. Mache beim Induktionsschritt die Annahme, daß die Aussage für ein beliebiges n >= m wahr ist. Zeige dann, daß die Aussage auch für n+1 wahr ist.

Der Fall m = n+1 bzw. n = m-1 kann also gar nicht auftreten, da - wie gesagt - immer n >= m ist.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nee, da kann nicht sein. Nochmal die Vorgehensweise:

1. Man sagt: wähle ein beliebiges, aber festes m mit m >= 1 .
2. Mache eine vollständige Induktion über n mit dem Induktionsanfang n=m.
3. Mache beim Induktionsschritt die Annahme, daß die Aussage für ein beliebiges n >= m wahr ist. Zeige dann, daß die Aussage auch für n+1 wahr ist.

Der Fall m = n+1 bzw. n = m-1 kann also gar nicht auftreten, da - wie gesagt - immer n >= m ist.


OK, einverstanden. Allerdings läuft dein Beweis dann etwas anders als der von mir angedachte. So finde ich das recht elegant gemacht Augenzwinkern .

Grüße Abakus smile
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