Integrale knacken

02.11.2007, 22:33

Tom1981

Integrale knacken

Hi und danke für Eure Hilfe.

Suche einen Einstieg um $\begin{eqnarray*} \int~\frac{x³}{³\sqrt{5-3} x^{4}} ~dx \end{eqnarray*}$ zu lösen.

02.11.2007, 22:43

marci_

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probiers mal mit substitution!

03.11.2007, 07:59

Tom1981

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Aber welcher Teil bietet sich zum substituieren an ?
$\begin{eqnarray*} t=x^{3} oder \cdot t=\sqrt[3]{5-3} x^{4} oder \cdot t=5-3x^{4} \end{eqnarray*}$
Und woran kann ich erkennen, welche Substitution sinvoll ist ?

03.11.2007, 08:02

Airblader

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Du meinst aber schon

$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x^3}{\sqrt[3]{5-3x^4}}~\dd x \end{eqnarray*}$

oder?

air

03.11.2007, 08:04

Tom1981

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Ja, genau.

03.11.2007, 13:20

Musti

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Substituiere $\begin{eqnarray*} z=5-3x^4 \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 16:32

Tom1981

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$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x³}{\sqrt[3]{5-3x^{4}}~dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= 5-3x^{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= \sqrt[4]{\frac{5-t}{3}}= (\frac{5-t}{3})^ \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{dt} = \frac{1}{4} (\frac{5-t}{3})^ \frac{-3}{4} = \frac{-3}{4} \sqrt[4]{\frac{5-t}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx= \frac{-3}{4} \sqrt[4]{\frac{5-t}{3}} dt \end{eqnarray*}$

Bisher richtig ??

03.11.2007, 18:57

Musti

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Zitat:

Original von Tom1981
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{x³}{\sqrt[3]{5-3x^{4}}~dx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t= 5-3x^{4} \end{eqnarray*}$

Bis hierhin ok.
Was du danach gemacht hast kann ich nicht ganz verfolgen.
Nun bilde die Ableitung von $\begin{eqnarray*} t\Rightarrow \frac{dt}{dx} \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 15:24

Tom1981

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Aha alles klar. Hab versucht den Musterweg aus Fetzer & Fränkel 2 (S.159) nachzuahmen.
Dabei muß ich ja nur das Substituierte ableiten und den Kehrwert mit dem vereinfachten Integral multiplizieren. Zu $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{8} \sqrt[3]{(5-3x^{4})²} +C \end{eqnarray*}$
Außerdem möchte ich allen, die nach Hilfe beim Rechenweg zur Integration suchen, eine spitzen Internetseite empfehlen.
Die spart euch Zeit und Nerven ohne Ende.
http://calc101.com/webMathematica/Integrale.jsp#topdoit

04.11.2007, 15:35

vektorraum

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@Tom1981: Die Seite ist, denke ich mal, den meisten bekannt. In einer Klausur oder ähnlichem wird sie dir aber auch nichts weiter nützen, wenn du keine elementaren Lösungswege zur Bestimmung eines Integrals bereit hälst (im Kopf). Die Seite kannst du höchstens als Vergleich nehmen. Der Rest sollte aber doch noch nach guter alter Schule "per Hand" gehen.

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