Beweis [gelöst]

03.11.2007, 14:23	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis [gelöst] Hallo, wie kann man (möglichst algebraisch) beweisen, dass $\begin{eqnarray} floor(x) = 1 + \sum_{k=2}^{n+1}~floor( \frac{x + n - k}{n}) \end{eqnarray}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ .
04.11.2007, 13:21	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal würde ich die Behauptung durch Reindizierung $\begin{eqnarray} j=n-k+1 \end{eqnarray}$ sowie Substitution $\begin{eqnarray} x=y-1 \end{eqnarray}$ umschreiben: $\begin{eqnarray} \lfloor y \rfloor = \sum_{j=0}^{n-1} ~ \left\lfloor \frac{y+j}{n} \right\rfloor \qquad () \end{eqnarray}$ Für jedes $\begin{eqnarray} y\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ findet man nun eindeutig bestimmte ganze Zahlen $\begin{eqnarray} a,b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0\leq b\leq n-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} an+b \leq y < an+b+1 \end{eqnarray}$ Das eingesetzt kann man () leicht überprüfen.
15.11.2007, 19:45	matze(2)	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Weil ich in letzter Zeit ziemlich viel Stress um die Ohren hatte, konnte ich leider nicht früher antworten.

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