Abbildungen & Mengen

03.11.2007, 15:24

aRo

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Abbildungen & Mengen

Hi!

Ich scheine noch Probleme mit der Schreibweise von Abbildungen zu haben. Seien M,N Mengen und f: M ->N mit M1,M2 Teilmenge von M.

ist dann folgende Gleichung korrekt?
$\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) = f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$

Es scheitert im Prinzip schon daran, dass ich mir nicht sicher bin, was nun eigentlich $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ heißen soll.

Es müsste ja soetwas sein:
$\begin{eqnarray*} f: M \to N, M_1 \cup M_2 \mapsto \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand mal bitte genau erklären, was da eigentlich steht und dann versuche ich es zu beweisen/widerlegen smile

smile

Danke!

03.11.2007, 15:28

Pit

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RE: Abbildungen & Mengen

Zitat:

Original von aRo

Es scheitert im Prinzip schon daran, dass ich mir nicht sicher bin, was nun eigentlich $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ heißen soll.

das ist bei wikipdia ganz gut beschrieben

http://de.wikipedia.org/wiki/Venn-Diagramm

M1 vereinigt M2

das lässt sich an einem venn diagramm ganz gut erkennen

grss pit

03.11.2007, 15:30

aRo

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das ist mir durchaus bewusst. Ich habe vielmehr Probleme bei der Verbindung der Mengen mit der Funktion in diesem Fall. Wie würde man diese Gleichung ins deutsche übersetzen oder etwas ausführlicher mathematisch hinschreiben?

03.11.2007, 17:01

tmo

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$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ bedeutet, dass ein $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cup M_2 \end{eqnarray*}$ existiert, sodass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$ .

das ist eigentlich auch schon der ansatz um zu beweisen, dass die linke seite teilmenge der rechten ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

in worten könnte man das so erklären: f(A) ist die menge, die entsteht, wenn man alle elemente aus A durch f abbildet.

04.11.2007, 12:25

aRo

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hey!

ok, das hat es mir etwas klarer gemacht. Dennoch verstehe ich nicht, warum dann die linke Seite Teilmenge der rechten sein soll.

Ich habe mir mal ganz einfach ein Beispiel ausgedacht.
M1={1,2}
M2={3,4}

M1 vereinigt M2 = {1,2,3,4}

f(x) = x+1

dann wäre doch f(M1) = {2,3} und f(M2) = {4,5}. Das Ding vereinigt also {2,3,4,5}.

Gleiches würde doch auch für f(M1 vereinigt M2) gelten. Oder sehe ich da doch etwas falsch?

04.11.2007, 12:39

tmo

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ja das ist ein beispiel dafür, dass die gleichung stimmt. das musst du jetzt natürlich versuchen zu beweisen.
und die gleichheit zweier mengen beweist man oft, indem man zeigt, dass sie ineinander enthalten sind, also:

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \wedge B \subseteq A \Leftrightarrow A = B \end{eqnarray*}$

d.h. du musst erst beweisen, dass jedes element aus $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$ ist. danach musst du es dann "andersrum" machen und dann wäre der beweis der gleichheit abgeschlossen.

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04.11.2007, 13:38

aRo

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hi tmo!

hmm..irgendwie kommt mir das zu simpel vor, wie ich das jetzt gemacht habe.

Also:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } x \in f(M_1 \cup M_2) \Rightarrow \text{ Es ex. ein } x \in M1 \cup M2 \text{ , so dass } f(x) = y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x \in M1 \vee x \in M2 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) \Rightarrow \text{ es ex. ein } x \in M_1 \vee x \in M_2 \end{eqnarray*}$
Also stammt das x aus den selben Mengen.

Dabei habe ich aber nicht richtig die Eigenschaft der Teilmengen benutzt. Da fehlen mir wohl noch gut ein paar Schritte.

04.11.2007, 13:50

tmo

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ja die fehlt noch der entscheidende schritt

am anfang hast du dich wohl verschrieben, es muss nämlich Sei $\begin{eqnarray*} y \in \end{eqnarray*}$ ... heißen.

nun hast du richtig gefolgert, dass x dann in M1 oder in M2 enthalten ist. also ist $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ worin enthalten?

04.11.2007, 14:23

aRo

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hmm..ich komme wohl noch immer nicht drauf.
Nach Aufgabenstellung muss y in N enthalten sein, aber das bringt uns ja nicht viel weiter, denke ich.
Ich würde direkt sagen, dass $\begin{eqnarray*} y \in f(M_1) \vee f(M_2) \end{eqnarray*}$ aber da muss ich wieder etwas übersprungen haben unglücklich

unglücklich

04.11.2007, 15:21

tmo

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ja das ist genau das, was du dann folgern musst, denn dann ist y ja auch in der vereinigung.

damit ist ein teil des beweises schon abgeschlossen.

04.11.2007, 16:10

aRo

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also wäre das hier ein formal korrekter beweis?

Es gilt $\begin{eqnarray*} y \in f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ . D.h. es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in M_1 \cup M_2 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} f(x) = y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1 \cup M_2) \Rightarrow x \in M_1 \cup M_2 \Rightarrow x \in M_1 \vee x \in M_2 \Rightarrow y \in f(M_1) \vee y \in f(M_2) \Rightarrow y \in f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass jedes y, dass in $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ liegt, auch in $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$ liegt.

Also:
$\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \subseteq f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$ (*)

Ferner gilt:

$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1) \cup f(M_2) \Rightarrow x \in M_1 \vee x \in M_2 \Rightarrow x \in M_1 \cup M_2 \Rightarrow y \in f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$

Jedes y, das element von $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) \end{eqnarray*}$ ist, liegt somit auch in $\begin{eqnarray*} f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) \subseteq f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$ (**)

Aus (**) und (*) folgt, dass
$\begin{eqnarray*} f(M_1) \cup f(M_2) = f(M_1 \cup M_2) \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 16:14

tmo

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der 2.teil ist noch nicht ganz richtig.

viel mehr würde ich so anfangen:

$\begin{eqnarray*} y \in f(M_1) \cup f(M_2) \Rightarrow y \in f(M_1) \text{ oder } y \in f(M_2) \end{eqnarray*}$

04.11.2007, 16:17

aRo

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aber dann käme doch meiin erster schritt, oder nicht?

04.11.2007, 16:18

tmo

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ja, wobei du natürlich formal noch schreiben musst, dann existiert ein x etc...

denn du hast im 2. teil x ja noch nicht gar nicht definiert.

04.11.2007, 17:05

aRo

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hi, ok.

ich habe dann noch
$\begin{eqnarray*} f(x_1) \cap f(M_2) = f(M_1 \cap M_2 \end{eqnarray*}$ ziemlich analog bewiesen. Hoffe das war richtig.

Wäre dann für $\begin{eqnarray*} f^{-1}(N_1 \cup N_2) = f^{-1}(N_1) \cup f^{-1}(N_2) \end{eqnarray*}$
der Ansatz:
Es gilt $\begin{eqnarray*} x \in f^{-1}(N_1 \cup N_2) \end{eqnarray*}$ D.h. es ex. ein $\begin{eqnarray*} y \in N_1 \cup N_2 \end{eqnarray*}$ , so dass f(y) = x gilt
?

04.11.2007, 17:10

tmo

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wenn du den satz mit f(x) = y abschließt, ist es der richtige ansatz.

warum f(x) = y und nicht f(y) = x ?

04.11.2007, 17:13

aRo

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Zitat:

Original von tmo
warum f(x) = y und nicht f(y) = x ?

mache ich das nicht?

und warum soll ich in m it f(x) = y abschließen? verwirrt

verwirrt

04.11.2007, 17:17

tmo

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weil du mit $\begin{eqnarray*} x \in \end{eqnarray*}$ ... angefangen hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

x ist element des urbild, also machst du eine aussage über f(x).

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