vollständige induktion - ungleichung

03.11.2007, 17:56

mathestudi

vollständige induktion - ungleichung

hallo,

kann mir einer sagen, was ich bei dieser aufgabe machen muss bzw. was das mit induktion zu tun hat, da ich alle anderen Aufgaben per Induktion gelöst habe und das auch momentan das Thema ist?

Für welche $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gilt die Ungleichung
$\begin{eqnarray*} n! \leq (\frac{n}{2})^n \end{eqnarray*}$ ?

Ich weiß leider gar nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.

danke.

03.11.2007, 17:59

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Du kannst durch Induktion nachweisen, dass diese Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 6 \end{eqnarray*}$ gilt.

Für die restlichen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} n=0,1,2,3,4,5 \end{eqnarray*}$ , machst du jeweils Einzelüberprüfungen.

03.11.2007, 18:09

mathestudi

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wieso gearde $\begin{eqnarray*} n \geq 6 \end{eqnarray*}$ ?
und wie soll das gehen?

03.11.2007, 18:11

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Zitat:

Original von mathestudi
wieso gearde $\begin{eqnarray*} n \geq 6 \end{eqnarray*}$ ?

Weil es so ist - rechne doch selbst nach.

03.11.2007, 18:16

mathestudi

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Zitat:

Original von Arthur Dent
rechne doch selbst nach.

ja wie denn?? ich steh glaub ich gerade ziemlich auf der leitung!

für n=0 bis 6 hab ich es durchgerechnet.

also für n=0 und n=6 stimmt es.
für n=1,2,3,4,5 stimmt es nicht.

03.11.2007, 18:20

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Naja, deine Rechnungen für n=1..6 stimmen ja. Bei n=0 allerdings ist die rechte Seite nicht mal definiert - es sei denn, ihr habt $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ fest vereinbart. Augenzwinkern

Und für den Induktionsbeweis solltest du dich mal selbst bemühen - ist ja wohl nicht der erste Induktionsbeweis, den du führst. Außerdem kannst du mal ein bisschen im Board suchen, genau diese Ungleichung war schon mehrfach hier Thema.

03.11.2007, 18:26

mathestudi

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ok. also nur zum verfahren, was ich jetzt machen muss:

ich habe eine behauptung, mache den i. anfang, also prüfe für n=0, n=1, ..., n=6, merke dann, dass es eine lösung für n=6 gibt, das ist dann meine i. voraussetzung.
dann erhöhe ich von n auf n+1 und zeige, dass das auch gilt, wenn n>=6 ist.

in ordnung so?

03.11.2007, 18:40

klarsoweit

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Radio Eriwan: im Prinzip ja.

Kleiner Tipp: im Verlauf des Beweises brauchst du folgende Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \geq 2 \end{eqnarray*}$

Warum diese Ungleichung gilt, mußt du natürlich noch begründen. Augenzwinkern

03.11.2007, 19:03

mathestudi

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ich habe mal weiter im board gesucht. also in meinem i. schluss hab ich jetzt so weit umgeformt, dass $\begin{eqnarray*} (\frac {n}{2})^n \leq \frac {1}{2}(\frac{n+1}{2})^n \end{eqnarray*}$ dasteht.
jetzt muss ich wohl deine genannte ungelichung anwenden. ich versteht nur nicht, wie man auf diese ungleichung $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \geq 2 \end{eqnarray*}$ kommt bzw. wie ich das dann anwenden soll.
dass die gilt ist wohl offensichtlich (bernoullische ungleichung):
$\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac 1 n \right)^n \geq 1 + n \cdot \frac{1}{n} = 2 \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 19:06

tmo

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multipliziere die ungleichung, auf die du gestoßen bist, mal mit $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$

03.11.2007, 19:19

mathestudi

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gut, dann bekomme ich wenigstens mal den bruch weg.
übrig beleibt aber:

$\begin{eqnarray*} n^n \leq \frac{1}{2} (n+1)^n \end{eqnarray*}$

wie kann ich darauf die o.g. ungleichung anwenden?

03.11.2007, 19:20

tmo

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$\begin{eqnarray*} (n+1)^n \end{eqnarray*}$ auf die andere seite bringen und dann den kehrwert bilden.

zwischendrin noch schnell ein potenzgesetz.

04.11.2007, 00:28

mathestudi

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danke!

hab die lösung heraus!

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