Sigma endlich?

03.11.2007, 20:19

RedFox

Sigma endlich?

Guten Abend
Ich habe eine Verständnisfrage, folgt aus "endlich additiv" auch "sigma endlich"?

Ich habe bei Wikipedia leider nix passendes gefunden.

04.11.2007, 08:11

Abakus

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RE: Sigma endlich?

Zitat:

Original von RedFox
Ich habe eine Verständnisfrage, folgt aus "endlich additiv" auch "sigma endlich"?

Um was geht es denn überhaupt ? Ich habe zwar eine leise Vermutung, möchte aber nicht raten. Was soll denn endlich additiv sein usw. ?

Grüße Abakus smile

04.11.2007, 09:35

RedFox

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Es geht nur um die Definition. Ich verstehe den Unterschied nicht

http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorielles_Ma%C3%9F

Zitat:

Original von Wikipedia
Ein vektorielles Maß ist eine endlich oder abzählbar-additive E-wertige Mengenfunktion, das heißt:

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega,\Sigma) \end{eqnarray*}$ ein Messraum (also eine nichtleere Menge und eine Sigma-Algebra) und E ein Banachraum mit Norm $\begin{eqnarray*} ||\,\cdot\,|| \end{eqnarray*}$ . Eine E-wertige Mengenfunktion auf £ ist eine Funktion $\begin{eqnarray*} \nu\colon\Sigma\rightarrow E mit \nu(\varnothing)=0 \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ heißt endlich additiv, falls $\begin{eqnarray*} \nu(A_1\cup\cdots\cup A_n)=\nu(A_1)+\cdots+\nu(A_n) \end{eqnarray*}$ für endlich viele, paarweise disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A_1,\ldots,A_n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ heißt abzählbar-additiv (auch sigma-additiv), falls

$\begin{eqnarray*} \nu\bigg(\biguplus_{n=1}^{\infty} A_n\bigg)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n) \end{eqnarray*}$ für abzählbar viele, paarweise disjunkte Mengen $\begin{eqnarray*} A_1, A_2, \ldots \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$
gilt. Dabei wird gefordert, dass die Reihe auf der rechten Seite absolut konvergent im Banachraum E ist. Dies sichert in der zuletzt genannten Formel, dass beide Seiten der Gleichung invariant bezüglich Umordnung sind.

Ich behaupte, dass man von endlich additiv nicht auf sigma additiv schließen kann
Kann mir jemand mal sagen, ob ich richtig liege
Vielleicht auch noch, warum man von endlich addutuv nicht auf sigma endlich schließen kann?

04.11.2007, 09:44

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Zitat:

Original von RedFox
Ich behaupte, dass man von endlich additiv nicht auf sigma additiv schließen kann
Kann mir jemand mal sagen, ob ich richtig liege
Vielleicht auch noch, warum man von endlich addutuv nicht auf sigma endlich schließen kann?

Ja - durch ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N},\quad \Sigma = \wp(\Omega) \end{eqnarray*}$ (d.h. Potenzmenge)

Und dann betrachte man die Mengenfunktion

$\begin{eqnarray*} \mu(A) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{falls}\; A \; \mbox{endlich}\\ \infty & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Diese Mengenfunktion ist endlich additiv, aber nicht sigma-additiv.

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