Angeordneter Körper

03.11.2007, 20:27

esra

Angeordneter Körper

Hallo!

Hab 2 Aufgaben, die ich nciht lösen kann...
Kann mir bitte jemand helfen traurig

1. Afgabe:

Sei K ein angeordneter Körper. Zeige für x,y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K

(a) $\begin{eqnarray*} \frac{x}{1+x} < \frac{y}{1+y} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 \leq x < y \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} \frac{\mid x+y \mid }{1+ \mid x+y \mid }\leq \frac{\mid x \mid }{1+ \mid x \mid } + \frac{\mid y \mid}{1+ \mid y \mid} \end{eqnarray*}$

2. Aufgabe:

Seien K ein angeordneter Körper, X:= {x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ K: -1 < x < 1} und f: X->K definiert durch

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{1-\mid x \mid } , x \in X \end{eqnarray*}$

(a) Zeigen Sie, dass f eine Bijektion ist.
(b) Bestimmen Sie $\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ .3

bin erst seit 2 wochen mathestudentin und weiss net mehr weiter... unglücklich

03.11.2007, 20:49

Dual Space

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RE: Angeordneter Körper
Nutze z.B. die Körperaxiome, um die Ungleichung so lange (äquivalent) umzuformen, bis du eine wahre Aussage erhältst.

03.11.2007, 20:52

tigerbine

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RE: Angeordneter Körper
Das ein geordneter Körper vorliegt, ermöglicht es Dir "wie in der Schule" zu rechnen (IR ist geordnet). Nun könnte man das Pferd von hinten aufzäumen. Bei Aufgabe 1 weiß man, dass gilt.

$\begin{eqnarray*} 0 \leq x < y \end{eqnarray*}$

Das liefert schon einmal:

$\begin{eqnarray*} x < y \text{ und } x+1 < y+1 \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} x < x+1 \text{ und } y < y+1 \end{eqnarray*}$

Wie würdest Du nun

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} ~?~ \frac{1}{y+1} \end{eqnarray*}$

abschätzen?

03.11.2007, 21:02

Dual Space

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RE: Angeordneter Körper
esra: Folge dem Fahrplan von tigerbine, aber nenne bei jedem Rechenschritt das Körperaxiom, welches dir diesen ermöglicht. So kannst du sicher sein, dass du auch alle Punkte für die Aufgabe bekommst.

04.11.2007, 17:47

esra

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RE: Angeordneter Körper
vielen dank an euch!!!

hat mir geholfen die aufgabe einigernaßen zu verstehen...

aber könnte mir jemand auch sagen, wie man eine bijektion beweist???

04.11.2007, 18:04

zweiundvierzig

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Man kann eine Bijektion konstruieren oder die Eigenschaft "Bijektivität" einer Abbildung zeigen. Dazu zeigt man Surjektivität und Injektivität.

04.11.2007, 18:45

esra

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RE: Angeordneter Körper
ja, schon klar...

aber weiss net, wie ich es bei dieser aufgabe machen soll....

bon total verwirrt

05.11.2007, 17:13

esra

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RE: Angeordneter Körper
Also ich hab mal ein bissel darüber nachgedacht und kam zur folgende Ergebnissen:

a) x y
------ < ------ / * 1+x
1+x 1+y

x < y (1+y) / 1+y
-----
1+x

x(1+y) < y ( 1+x)

x+y<y+x

Doch dsa kann doch niemals stimmer , oder ?!
Bitte um Hilfe!

05.11.2007, 17:36

Dual Space

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RE: Angeordneter Körper

Zitat:

Original von esra
a) x y
------ < ------ / * 1+x
1+x 1+y

x < y (1+y) / 1+y
-----
1+x

Das kann keiner lesen. Nutze doch bitte den Formeleditor.

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