Bedingungen für Rechteck in Rechteck

14.04.2005, 14:24

Chrissi1

Bedingungen für Rechteck in Rechteck

Hallo,

ich zerbreche mir gerade den Kopf an folgender Aufgabe:

Ich habe ein Rechteck ABCD in das ich ein zweites Rechteck EFGH einbeschreiben will. Dabei ist die längere Seite des zweiten Rechtecks länger als die längste Seite des ersten, so dass nur eine "schräge Lösung" in Frage kommt. Die Frage ist nun, welcher Zusammenhang zwischen den beiden Seiten des zweiten Rechtecks bestehen muss, damit das funktioniert.

Eigentlich dürfte das ganze ja nicht so schwierig sein, aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch

Schonmal vielen Dank für Eure Hilfe!!

Lg,
Chrissi

14.04.2005, 15:00

Chrissi1

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Beispiel
hier nochmal ein kleines Beispiel zur Verdeutlichung:

gegeben: Rechteck mit Seitenlängen 12 und 8. und ein weiteres Rechteck mit Seitenlänge 13.
Die Frage ist nun wie groß darf die zweite Seite dieses Rechtecks maximal sein, so dass es noch in das erste passt.

lg,
Chrissi

14.04.2005, 15:32

derkoch

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zu deinem 2. beispiel: 2. seite muß ca. 1,027 cm lang sein.

zur lösung der aufgabe du mußt hier pythagoras benutzen und ne gleichung aufstellen, wenn du diese gleichung auflöst hast du 2. lösungen , dann mußt du überprüfen welche der bedingung zutrifft!

solltes hier ne skizze dazu machen!

14.04.2005, 15:37

Chrissi1

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Hallo,

danke für deine Antwort

Pythargoras ist klar, aber was für ne Gleichung muss ich dann noch aufstellen?? Ich sehs irgendwie nicht, vielleicht denk ich ja viel zu kompliziert?

Liebe Grüße,
Chrissi

14.04.2005, 15:39

derkoch

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gehen wir mal zusammen dein 2. beispiel mit den werten durch vielleicht siehts du dann die schritte für die "allgemene" gleichung!

wie würdest du denn vorgehen?

14.04.2005, 15:43

Chrissi1

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Also mein Problem besteht darin dass eine optimale Lösung ja nicht unbedingt parallel zur Diagonalen liegt. daher habe ich durch Pythargoras ja nur eine Beschränkung. Irgendwie fehlt mir aber wie ich die Abhängigkeit von Länge und Breite des zweiten Rechtecks formulieren kann.

14.04.2005, 15:50

derkoch

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hui! ich kann dir das zwar ausrechnen, bzw. helfen dahin zu kommen, doch wenn du schwierigkeiten hast es dir vorzustellen, dann ist es für mich auch ein problem, weil ich kein zeichnprogramm zur hand habe und es dir darstellen kann.
da mußt du ein bißchen gedult haben, bist wernerrin oder leopold da sind, die haben programme , mit denen man es darstellen kann!
sorry.

14.04.2005, 16:00

Chrissi1

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Ich kann leider auch nichts zeichnen, hab aber eine Skizze vor mir: vielleicht schaffen wir es ja anhand davon, ich denke mir fehlt wirklich nur der entscheidende schritt, hab das gefuehl ich stehe total auf der leitung.

Also meine Skizze schaut so aus:

Ich habe ein äußeres Rechteck ABCD mit längerer Seite AB
und ein inneres Rechteck darin einbeschrieben beides mit obigen Abmessungen.

Der Punkt andem das innere Rechteck die BC Seite berührt heißt X
der an der AB Seite Y. Die Seiten des inneren Rechtecks bezeichne ich mit l bzw w.

Die Seitenverhältnisse AY /YB bzw. BX/XC sind auf den gegenüberliegenden Seiten ja identisch daher habe ich die Punkte nicht extra benannt.

Der Winkel zwischen den beiden langen Seiten heißt a, der zwischen den kurzen b, identisch wieder gegenüber.

Kannst Du das so weit nachvollziehen? Und stimmt alles?

ich weiß schon dass a+b = 90 Grad
nd dass die Verhältnisse
cx/l = yb / w
ay/l = xb/ w
gelten.

Tja, und nun häng ich irgendwie.. komme nicht drauf wie ich w ausrechnen könnte ??

Vielen lieben Dank!
Chrissi

14.04.2005, 18:59

Leopold

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Im Rechteck sei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ die längere und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die kürzere Seite. Die Ähnlichkeit der schraffierten Dreiecke liefert eine Beziehung zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Diese kann nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aufgelöst werden.

15.04.2005, 13:28

Chrissi1

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Ah ich glaub jetzt hab ichs...ich kann dann x in Abhängigkeit von a, b und y angeben.

Nun gilt mit Pythargoras:
(a-x)^2 + (b-y)^2 = l^2 (l größere Seite des inneren Rechtecks)
und x^2 + y^2 = w^2 (w kleinere Seite des inneren Rechtecks)

Und daraus kann ich w berechnen, wenn ich a, b und l gegeben habe oder ?

Vielen Dank euch !

Liebe Grüße,
Chrissi

15.04.2005, 13:38

derkoch

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15.04.2005, 14:29

Leopold

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Zitat:

Original von Chrissi1
Und daraus kann ich w berechnen, wenn ich a, b und l gegeben habe oder ?

Numerisch geht das sicher. Für eine allgemeine Lösung sehe ich aber größere Hindernisse wegen der algebraischen Gleichungen höheren Grades, die entstehen.

Für $\begin{eqnarray*} a=12, \, b=8, \, l = 13 \end{eqnarray*}$ erhalte ich zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} x = 0{,}81456116490464 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 1{,}3753522307717 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w = 1{,}5984691583073 \end{eqnarray*}$

Man kann natürlich nicht ausschließen, daß sich die Gleichungen vierten Grades durch Quadraturen lösen lassen.

15.04.2005, 17:26

dfhh

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RE: Bedingungen für Rechteck in Rechteck
RWE four ever E=Erfurt nicht ESSEN klar denn das sind A....lö....

19.04.2005, 09:25

Chrissi1

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Ja, das macht mir auch zu schaffen, weil ich das eigentlich als Abfrage in ein Programm einbauen wollte, ob ich quasi etwas schräg in eine Kiste packen kann. Aber mir wird schon noch was einfallen.. NOchmals vielen Dank an euch!! ZUmindest ist der Knoten in meinem Kopf nun gelöst smile

Liebe Grüße,
Chrissi

19.04.2005, 14:34

Chrissi1

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Hallo nochmal...

Ich habe nun versucht die Gleichungen so umzuformen, dass ich x und y komplett eliminieren kann und nur noch Abhängigkeiten zwischen a, b, w und l habe. Aber irgendwie komme ich mit zwei Ansätzen auf zwei verschiedene Ergebnisse und sehe nicht, ob sie gleich sind, was sie ja eigentlich sein müssten. Also hier mal meine Rechnerei:

Zuerst die drei Bedingungen die erfüllt sein müssen:
1) $\begin{eqnarray*} a(a-x) = y(b-y) \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = w^2 \end{eqnarray*}$
3) $\begin{eqnarray*} (a-x)^2 + (b-y)^2 = l^2 \end{eqnarray*}$

Nun multipliziere ich 3) aus und setze für $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ 2) ein:
$\begin{eqnarray*} a^2 - 2ax + b^2 - 2by = w^2 +l^2 \end{eqnarray*}$

Das kann ich nach x auflösen und erhalte:
(*) $\begin{eqnarray*} x = \frac{l^2-w^2-a^2-b^2+2by}{-2a} \end{eqnarray*}$

Löse ich 2) nach $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ auf und setze das in 1) ein, bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} ax-w^2+y^2=by-y^2 \end{eqnarray*}$
Wieder nach x auflösen ergibt:
$\begin{eqnarray*} x=\frac{-2y^2+by+w^2}{a} \end{eqnarray*}$

nun setzt ich (*) damit gleich und erhalte:
$\begin{eqnarray*} 4y^2-aby+ a^2+b^2-l^2 - w^2 = 0 \end{eqnarray*}$

Hieraus lassen sich zwei Lösungen für y berechnen:
$\begin{eqnarray*} y_{1,2}=\frac{4b+-\sqrt{16b^2-16(a^2+b^2-w^2-l^2)}}{8}=0.5b+-0.5\sqrt{w^2+l^2-a^2} \end{eqnarray*}$

Damit nun eine Lösung a,b,w,l zulässig ist, muss der Term unter der Wurzel $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein, also habe ich als 1. Bedingung:
1') $\begin{eqnarray*} w^2+l^2-a^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Weiter muss $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein. Dies ist für die Lösung mit "+" immer erfüllt für die mit "-" muss gelten:
2') $\begin{eqnarray*} b\geq \sqrt{w^2+l^2-a^2} \end{eqnarray*}$

Setzt man nun y in (*) ein und fordert man, dass auch $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ ist erhält man folgende Bedingung:
3') $\begin{eqnarray*} l^2-w^2-a^2+-\sqrt{w^2+l^2-a^2}\leq 0) \end{eqnarray*}$

ZUsammenfassend kann man also folgern:
a,b,w,l ist eine zulässige Lösung, wenn entweder die Bedingungen 1') und 3') mit "+" erfüllt sind oder aber 1'), 2') und 3') mit "-".

Ist so weit alles richtig?
Falls ja, nun zu meiner Frage: Wenn ich genauso vorgehe, aber anstatt zuerst nach y aufzulösen und dann in x einzusetzen, das andersrum mache, komme ich zu einem sehr ähnlichen Ergebnis, aber halt doch anders:
1') $\begin{eqnarray*} w^2+l^2-b^2\geq0 \end{eqnarray*}$
2') $\begin{eqnarray*} a\geq\sqrt{w^2+l^2-b^2} \end{eqnarray*}$
3') $\begin{eqnarray*} l^2-w^2-b^2*-a\sqrt{w^2+l^2-b^2}\leq0 \end{eqnarray*}$

also einfach a und b vertauscht. In meinem Rechteck sind aber a und b nicht wirklich das selbe. Sehe ich mal wieder was einfaches nicht?

Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte smile

Nochmals vielen lieben Dank!
Chrissi

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