Krümmung der logarithmischen Spirale?

14.04.2005, 15:05	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
Krümmung der logarithmischen Spirale? Hallo! ich soll die Krümmung der logarithmischen Spirale $\begin{eqnarray} r = e^{a \varphi}, \varphi \in \mathbb R \end{eqnarray}$ als funktion von $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ berechnen, aber ich schaffs nicht. das heißt ich komm nicht einmal soweit, ich bleib schon bei der parametrisierung nach der bogenlänge hängen. also ich glaube ich weiß wie man es machen muss, aber vielleicht mach ich etwas falsch. ich will da jetzt nicht lang mit latex herumtun, aber ich kann kurz beschreiben was ich mache: zuerst bringe ich die funktion (die in polarkoordinaten gegeben ist) in eine parameterdarstellung $\begin{eqnarray} f(\varphi) = \begin{pmatrix} e^{a\varphi} \cdot cos(\varphi) \\ e^{a\varphi} \cdot sin(\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann bilde ich die erste ableitung. (koordinatenweise) danach berechne ich das integral der norm dieser ableitung in den grenzen von 0 bis t nach d phi ich erhalte $\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{a^2+1} }{a} \cdot (e^{at}-1) \end{eqnarray}$ davon will ich nun die umkehrfunktion bilden, da kommt was recht komisches raus, und diese umkehrfunktion setze ich dann in $\begin{eqnarray} f(\varphi) \end{eqnarray}$ ein. das sollte dann die parametrisierung nach der bogenlänge sein, aber dieser ausdruck ist dann bei mir so kompliziert, dass ich damit nix anfangen kann. vielleicht kann mir jemand helfen, danke schon im vorraus.
14.04.2005, 16:39	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
Es geht auch direkt ohne Parameterdarstellung: schau mal hier
14.04.2005, 19:24	sdauth	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber wenn ich diese formel verwende $\begin{eqnarray} \kappa = \left\|\frac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)} {\left((f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right)^{3/2}}\right\| \end{eqnarray}$ dann muss ich sie auch herleiten, und das kann ich nicht
14.04.2005, 20:01	etzwane	Auf diesen Beitrag antworten »
ich mache es mir einfach, deshalb (und mit einem rechtwinkligen Dreieck dx, dy, ds und tan(theta)=dy/dx und dx²+dy²=ds² mit gewissen Einschränkungen)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »