Eulersche Polyederformel

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Jafado Auf diesen Beitrag antworten »
Eulersche Polyederformel
Guten Morgen!
Vorweg: ich bin mit diesem Thema nie belästigt worden, versuche allerdings momentan, meine Freundin zu unterstützen. Sie steht kurz vor ihrem 1. Staatsexamen, schreibt gerade an ihrer Examensarbeit und muss sich parallel auf diverse Prüfungen vorbereiten.
Es geht um folgende Aufgabe:

"Sie sehen den Netzausschnitt eines archimedischen Körpers, der aus regelmäßigen Drei- und Achtecken besteht. Berechnen Sie mit der Eulerschen Polyederformel, aus wie vielen Flächen der Körper besteht."

Nun, wir sehen den Netzausschnitt eines abgestumpften Hexaeders, bestehend aus fünf Achtecken und vier Dreiecken. Ein komplettes abgestumpftes Hexaeder besteht aus acht Dreiecken und und sechs Achtecken (also insgesamt 14 Flächen).

Nun haben wir die Eulersche Polyederformel e - k + f = 2 (e = Ecken, k = Kanten, f = Flächen). Zähle ich nun fleißig Ecken und Kanten, setze diese in die Formel ein und löse sie nach f auf, erhalte ich als Ergebnis 10. Soweit nett, da ich auch 10 Flächen sehe (4 Dreiecke, 5 Achtecke + Außenfläche), doch soll dies wirklich Sinn und Zweck der Aufgabe sein.
Laut meiner Freundin kann man anhand der Eulerschen Polyederformel errechnen, wieviele Flächen der vollständige archimedische Körper mal haben soll. So müsste ich als Ergebnis 14 erhalten...

Könnt Ihr mir helfen? Wo ist der Denk- oder Verständnisfehler?
Ich freue mich über jede Anregung!

Es grüßt

Jan
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eulersche Polyederformel
Willkommen im Forum, Jan Wink

Meine erste Idee zu deiner Frage ist, dass dein Netz und der zum Polyeder zugehörige Graph nicht identisch sind: beim Zusammenfalten des Netzes zum Polyeder gehen ja Ecken und Kanten verloren.

Du müsstest schon wirklich den in eine Ebene geplätteten Graphen des Polyeders betrachten. D.h. die Frage ist, welchen Graphen du da betrachtest und ob der wirklich den Polyeder als Graph repräsentiert.

Grüße Abakus smile
Jafado Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Abakus!
Ich verstehe zwar größtenteils nur Bahnhof, da ich mich gestern erstmals mit diesem Thema beschäftigt habe, aber ich danke Dir trotzdem.
Ich werde nun mal versuchen, ein Bild des Netzausschnittes anzuhängen. Ich gehe mal fast davon aus, dass dieses Problem recht einfach zu handhaben sein wird...

Jan
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »

OK, das ist nur das Netz, nicht jedoch der geplättete Graph des Polyeders (Ecken haben in Polyeder mindestens den Grad 3, in deinem Netz gibt es jedoch Ecken vom Grad 2).

Ich weiß nicht, ob es für solche Netze eine ähnliche Formel gibt, mögllich wäre es. Wenn du die Eulersche Polyederformel für den Polyeder anwenden willst, brauchst du jedoch den geplätteten Graphen desselben oder eben den Polyeder selbst.

Grüße Abakus smile
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