Vektorraum - Seite 2

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05.11.2007, 03:14

sofiee

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nicht zwei, sondern drei

05.11.2007, 03:14

tigerbine

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Ja. Welche Dimension hat dann der Kern von f?

05.11.2007, 03:19

tigerbine

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Wieso jetzt 3? verwirrt

05.11.2007, 03:24

sofiee

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ich glaube es ist einfach zu spät. ich kann sowieso kein mathe und dann noch um diese uhrzeit! da wirds richtig katastrophal. ich glaube, ich sollte mich besser morgen wieder mit der aufgabe beschäftigen. das ist bestimmt auch gut für deine nerven Augenzwinkern

05.11.2007, 03:30

tigerbine

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05.11.2007, 09:09

sophiee

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hallo, die dimension von bild(f) ist gleich 2 und kern(f) ist gleich 1

05.11.2007, 09:21

sophiee

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ich habe p(t) mal als vektor geschrieben, also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_0T^0 \\ a_1 T \\ a_2 T² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann ist

$\begin{eqnarray*} e_1= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_2= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e_3= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(e_1)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_2)= \begin{pmatrix} 0 \\ 2t+1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(e_3)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

somit sind
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_0T^0 \\ a_1 T \\ a_2 T² \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(e_1)= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f(e_2)= \begin{pmatrix} 0 \\ 2t+1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(e_3)= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Erzeugendensystene von Bild von f und ich muss sie noch auf lineare unabhängigkeit untersuchen!

f(e1) und f(e3) sind linear unabhängig, aber f(e2) nicht. ist das so richtig? ich hab im Buch eine Bspaufgabe zum Bestimmen der Basen von Bild(f). Ich bin die Schritte durchgegangen, die dort gezeigt werden.

05.11.2007, 12:31

tigerbine

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Richtig, nun stimmen die Dimensionen. Die 3 Bildpolynome der Monombasis sind linear abhängig, aber paarweise linear unabhängig. Man kann also 2 auswählen und die bilden eine Basis des Bildraums. Welche ist Geschmackssache, man wird wohl $\begin{eqnarray*} p_1,~p_3 \end{eqnarray*}$ wählen.

Nun muss noch eine Basis des Kerns gefunden werden. Wir suchen also ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit

$\begin{eqnarray*} p_k:=c_0+c_1t+c_2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(p_k)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c_2+2c_1)t+(c_1+c_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Was muss also für die Koeffizienten gelten?

05.11.2007, 13:40

WebFritzi

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Zitat:

Original von sofiee
ich hab mich da jetzt noch etwas durchgearbeitet und verstehe so in etwa, was die funktion da oben zu bedeuten hat.

$\begin{eqnarray*} p(t) = a0+ (a1)t+ (a2)t² \end{eqnarray*}$

ich muss beweisen, dass $\begin{eqnarray*} f(\lambda p) = \lambda f(p) \end{eqnarray*}$ ist.

dann habe ich da also stehen:
$\begin{eqnarray*} f(\lambda (a0+ (a1)t+ (a2)t²) = \lambda f(a0+ (a1)t+ (a2)t²) \end{eqnarray*}$

Siehst du... Und genau das meinte ich mit "Du musst auch über das nachdenken, was man dir schreibt...". Dass du mir nicht sagen konntest, wo ich mich im Ton vergriffen habe, spricht Bände. Meiner Meinung nach warst du am meisten auf dich selber sauer und hast deinen Frust an mir abgelassen. Dafür, dass ich mir für dich Zeit genommen hatte und mir überlegt habe, wie ich es dir am besten beibringe, finde ich das ziemlich unfair.

05.11.2007, 19:14

sofiee

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ok webfritzi, es tut mir leid. aber das war halt so, dass das nichts mit nachdenken oder so was zu tun hatte. sondern, dass ich das nicht wusste. ich wusste indem moment gar nicht was das bedeutete...

05.11.2007, 20:05

sofiee

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also lauten die Basen von Bild(f) :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zum Kern:
müssen die Koeffizienten nicht ungleich null sein?

05.11.2007, 20:09

tigerbine

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Das ist eine schlechte Schweibweise. Warum erklärt dir Fritz vielleicht? Mit Zunge

Sage lieber, die Polynome $\begin{eqnarray*} p_1,~p_3 \end{eqnarray*}$ (definiert s.o.) bilden eine Basis des Bildraums.

Zitat:

Nun muss noch eine Basis des Kerns gefunden werden. Wir suchen also ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit

$\begin{eqnarray*} p_k:=c_0+c_1t+c_2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(p_k)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (c_2+2c_1)t+(c_1+c_0) = 0 \end{eqnarray*}$

Was muss also für die Koeffizienten gelten?

Deinen Kommentar dazu verstehe ich nicht. Mind. ein Koeffizient muss von 0 verschieden sein (-> Sonst Nullpolynom) aber das reicht ja noch nicht.

05.11.2007, 20:19

sofiee

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ok, also ist entweder die klammer vor dem t = 0 oder die danach?

also entweder
$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 20:21

tigerbine

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Nein, beide müssen 0 sein. Ich meinte dass NICHT gelten darf

$\begin{eqnarray*} c_0=c_1=c_2=0 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 20:27

sofiee

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wie muss ich jetzt vorgehen?

05.11.2007, 20:30

tigerbine

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Es muss gelten...
$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$

UND

$\begin{eqnarray*} c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 20:36

kiste

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RE: Es muss gelten...

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$

UND

$\begin{eqnarray*} c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Nicht eher

$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} 2c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2007, 20:42

sofiee

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ok ich habe die beiden gleichungen:

$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} 2c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$ ^

daraus bekomme ich dann die folgende matrix:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und multipliziere es mit $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ . auf der rechten seite steht der nullvektor.

dann bekomme ich die beiden gleichungen
$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

durch auflösen der gleichung erhalte ich die zahlen:

0,5 ; -0,5 und 1

oder? bis hierhin komme ich, wenn ich mir das bsp anschaue, wie man Kern(f) bestimmt. den rest verstehe ich aber nicht

05.11.2007, 20:49

tigerbine

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Das mit der Matrix ist quatsch. Denn das ist einmal im Kreis gerechnet.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} c_0 + c_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2c_1 + c_2 = 0 \end{eqnarray*}$

versus

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2 + x_3 = 0 \end{eqnarray*}$

Aus Gleichung I folgt:

$\begin{eqnarray*} c_1 = -c_0 \end{eqnarray*}$

Das setzt du in II ein:

$\begin{eqnarray*} c_2 =2c_0 \end{eqnarray*}$

Und damit

$\begin{eqnarray*} p_k(t)=c_0-c_0t+2c_0t^2 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 20:53

sofiee

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muss ich jetzt $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} f(p_k) \end{eqnarray*}$ einsetzen?

05.11.2007, 20:59

tigerbine

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???
$\begin{eqnarray*} p_k(t)=c_0-c_0t+2c_0t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(p_k(t))=f(c_0-c_0t+2c_0t^2) = (2c_0-2c_0)t+(-c_0+c_0) = 0 \end{eqnarray*}$

05.11.2007, 21:03

sofiee

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somit ergibt die gleichung

0=0 verwirrt

05.11.2007, 21:06

tigerbine

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Nein, somit haben dir gezeigt, dass

$\begin{eqnarray*} f(p_k)=0 \end{eqnarray*}$

gilt, also liegt $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ im Kern von f.

05.11.2007, 21:08

sofiee

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und wie bestimme ich jetzt die Basen von Kern (f)?

05.11.2007, 21:16

tigerbine

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Warum haben wir wohl $\begin{eqnarray*} p_k \end{eqnarray*}$ K wie Kern bestimmt?

05.11.2007, 21:17

sofiee

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wenn ich das nur wüsste..... unglücklich

05.11.2007, 21:20

tigerbine

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Dann denk noch einmal in Ruhe darüber Nach, Miss Marple.

Die Dimension des Kerns ist 1 und wir kennen mind. ein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom, dass da drinnen liegt.

05.11.2007, 21:30

sofiee

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in einem eindimensionalem raum bildet doch jeder vektor, außer dem nullvektor eine basis oder?

da könnte ich theoretisch den vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ als basis wählen????

05.11.2007, 21:33

tigerbine

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1. Hör mit der Koordinatenschreibweise auf.

2. Denk nach. Du musst doch nur für $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ eine von 0 verschiedene reelle Zahl wählen und du hast das gesuchte Polynom.

05.11.2007, 21:34

sofiee

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1- t + 2t²

05.11.2007, 21:38

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} p_k(t)=1-t+2t^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(p_k)=(2-2)t+(-1+1) = 0 \end{eqnarray*}$

Tanzen

05.11.2007, 21:40

sofiee

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und ich kann das einfach so stehen lassen (sprich: das polynom pk als basis angeben) und muss kein vektor angeben?

05.11.2007, 21:42

tigerbine

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Das Polynom ist der Vektor. Vektoren nennt man die Elemente eines Vektorraums. Bei $\begin{eqnarray*} \Pi_2 \end{eqnarray*}$ sind das eben alle Polynome vom Höchstgrad 2.

05.11.2007, 21:46

sofiee

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ok, danke! smile